§ 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ ГРУППЫ

82. Непрерывные группы. Структурные постоянные.

Группы вращений трехмерного пространства и группа положительных преобразований Лоренца представляют собою примеры бесконечных групп, элементы которых зависят от параметров, которые могут меняться непрерывным образом. Для группы вращения роль параметров могли играть, например, углы Эйлера. В рассматриваемых случаях группы состоят из линейных преобразований, и зависимость группы от параметров сводится к тому, что элементы матриц, которыми определяются упомянутые линейные преобразования, зависят от этих параметров. В дальнейшем мы будем рассматривать группы линейных преобразований.

Положим, что элементы матриц линейных преобразований, составляющих некоторую группу G, суть функции вещественных параметров причем выполнены условия, которые мы сейчас укажем. Положим, что суть однозначные функции параметров при всех значениях эгих параметров, достаточно близких к нулю, и что нулевым значениям параметров соответствует единичный элемент группы G, который характеризуется условиями: при

Положим далее, что всякому элементу группы G, достаточно близкому к единичному элементу, соответствуют определенные значения параметров достаточно близкие к нулю. Близость элемента группы к единичному элементу определяется тем, что элементы соответствующих матриц близки к нулю при и к единице при Таким образом, при сделанных предположениях, мы будем иметь биодпозначное соответствие мёжду элементами группы G, находящимися в определенной окрестности единичного элемента, и некоторой окрестностью начала координат -мерного вещественного пространства . В дальнейшем мы будем иметь не только такое локальное биоднозначное соответствие, но биоднозначное соответствие в целом, при котором каждому элементу группы G соответствует определенная точка пространства принадлежащая некоторой области V этого пространства, содержащей начало внутри себя, и, наоборот, любой точке из V отвечает определенный элемент группы G Пока нам потребуется лишь указанное выше локальное соответствие. Символами и т. д. мы будем обозначать те элементы группы G, которые соответствуют значениям параметров При локальной точке зрения надо считать, что параметры достаточно близки к нулю, а элементы группы — к единичному элементу.

Рассмотрим произведение каких-либо элементов группы

Параметры характеризующие элемент полученный в результате указанного умножения, суть однозначные функции параметров

Мы предполагаем, что это суть непрерывные функции, имеющие непрерывные производные до четвертого порядка при всех и , достаточно близких к нулю.

Из того, что нулевым значениям параметров соответствует единичный элемент группы, непосредственно следуют равенства

откуда

Параметры соответствующие обратному элементу определяются, очевидно, из соотношений:

причем написанные равенства имеют место, если положить все и все равными нулю. Функциональный определитель от левых частей уравнений (192) по равен, в силу (191), единице при равных нулю. Таким образом, в силу теоремы о неявных функциях, уравнения (192) определяют как непрерывные функции при всех достаточно близких к нулю, причем обращаются в нуль при Разложим функции (189) по степеням пользуясь формулой Маклорена, причем доведем разложение до членов третьего порядка. Принимая во внимание формулы (190) и (191), получим:

где численные коэффициенты, не ниже четвертого порядка малости относительно и суммирование по и производится от 1 до . Числа

называются структурными постоянными группы О при принятом выборе параметров

Если вместо ввести другие параметры

так, что написанные равенства однозначно разрешимы относительно при всех достаточно близких к нулю, и функции имеют достаточное число производных, то структурные постоянные в новых параметрах будут уже другими.

Из определения (194) непосредственно следует:

Кроме того, пользуясь (192) и законом ассоциативности при перемножении элементов группы G, можно доказать еще следующее соотношение между структурными постоянными:

Мы не будем пользоваться этим соотношением и не приводим его доказательства.

Вернемся к формулам (193). При , достаточно близких к нулю, и величины будут близкими к нулю.

Принимая во внимание формулы (191) и теорему о неявных функциях, можно утверждать, что уравнения (193) в некоторой окрестности начала координат пространства разрешимы относительно

Отметим при этом, что условия: равносильны условиям: . Пользуясь формулами (193) и (195), составим две квадратные матрицы порядка с элементами зависящими от параметров

Принимая во внимание правило дифференцирования сложных функций и вычисляя производную от по или производную от по получим:

где Е — единичная матрица порядка . Из формул (191) следует, что при нулевых значениях обращается в единичную матрицу. Из (197) при этом следует, что и обладает этими же свойствами. Нетрудно выразить структурные постоянные через элементы упомянутых матриц, а именно:

или

Действительно, в силу (193) и (196), получим:

и, переставляя значки и можем написать:

откуда и следует непосредственно формула (198). Далее, принимая во внимание (197), имеем:

Дифференцируем обе части по и полагаем затем все о равными нулю.

Принимая во внимание, что матрицы обращаются в единичную матрицу при , получим:

т. е., в силу (201):

откуда, как и выше, следует формула (199). Формулы (193) определяют основную групповую операцию, которая по параметрам и элементов и G группы G дает параметры соответствующие произведению Из выражений (193) видно, что при и близких к нулю, в первом приближении групповая операция сводится к следующей: так что в первом приближении группа оказывается абелевой. Если группа в точности есть абелева, то:

и в разложениях , т. е. у абелевой группы все структурные постоянные равны нулю. Для общих групп уже члены второго измерения в разложениях (193) дают уклонение от коммутативности, что и характеризуется наличием структурных постоянных, отличных от нуля. Пользуясь разложением (193), нетрудно получить и разложение параметров соответствующих элементу Для этого в формулах (193) надо положить и заменить на Применяя обычные правила дифференцирования неявных функций, получим:

где по крайней мере, третьего порядка малости относительно