47. Ортонормированные системы.

Пусть имеется бесконечная ортонормированная система

т. е.

и у — какой-либо векгор Составим «ряд Фурье» у относительно системы (257):

Как мы видели [46], для любого конечного

и в пределе при получим:

откуда следует сходимость ряда, стоящего в левой части этого неравенства (неравенство Бесселя), и, в силу сказанного в [46], ряд сходится . Положим

Как и в [46] можно показать, что и ортогонален ко всем и теорема Пифагора даег

Мы можем утверждать [45], что знак равенства в неравенстве (259) равносилен тому, что вектор и в формуле (260) есть нулевой вектор.

Ортонормированная система (257) называется полной, если не существует вектора, отличного от нулевого и ортогонального ко всем она называется замкнутой, если для любого вектора у из имеет место уравнение замкнутости:

Если система (257) полна, то вектор и, входящий в формулу (260), есть нулевой вектор, и мы имеем разложение:

откуда, как мы видели [46], следует уравнение замкнутости (261). Наоборот, пусть система замкнута и вектор и ортогонален ко всем При этом из формулы (261) при замене у на и следует т. е. — нулевой вектор. Итак, полнота и замкнутость эквивалентны. Из вышесказанного легко следует, что полнота (замкнутость) системы равносильна возможности представления любого вектора у рядом (262).

Положим, что система (257) замкнута и выведем для любых двух векторов у и из обобщенное уравнение замкнутости.

Нетрудно видеть, что для векторов коэффициент Фурье равны соответственно Применяем уравнение замкнутости:

Пользуясь уравнением замкнутости для у и z, получим:

откуда и следует обобщенное уравнение замкнутости для полной ортонормированной системы (257):

Если у совпадает с z, то эта формула переходит в (261). Обозначим через составляющие векторов ортонормированной системы (257) и выпишем их в виде бесконечной матрицы:

Из условий ортонормированности непосредственно следуют формулы

т. е. следует ортонормпрованность столбцов матрицы (263). Выясним теперь условия, при которых ортонормированная система (257) будет полной.

Сначала установим необходимые условия полноты. Положим, что система (257) — полная, и применим к векторам которые мы ввели в [45], уравнения замкнутости (261) и (261

Принимая во внимание, что и что образуют ортонормированную систему, получим:

т. е. для полноты ортонормированной системы необходима ортонормированность строк матрицы (263). Покажем, что для полноты достаточно потребовать лишь нормированности строк:

Положим, что эти условия выполнены, и докажем полноту системы Формулы (264) являются, в силу уравнением замкнутости для векторов и следовательно, имеем:

Вместе с тем коэффициенты Фурье любого вектора по отношению к ортонормированной системе равны составляющим и уравнение замкнутости для у совпадает просто с определением нормы у (236), т. е. система — полная. Пусть v — вектор, ортогональный ко всем Докажем, что это нулевой вектор. Из (265) следует, что Поскольку образуют полную систему, отсюда и следует, что v — нулевой вектор. Таким образом, при соблюдении условий (264) доказана полнота ортонормированной системы Сформулируем полученный результат: для того чтобы ортонормированная система была полной (замкнутой), необходимо и достаточно, чтобы имели место формулы (264) (нор миро ванность по строкам матрицы ). При соблюдении этих условий будет иметь место и ортогональность строк матрицы (263).