61. Примеры.

1. Возьмем группу G вещественных ортогональных преобразований в трехмерном пространстве, сопоставим каждому такому преобразованию число, равное определителю этого преобразования, и определим групповую операцию для этих чисел как их обычное умножение. При этом группа G, состоящая из чисел при обычном умножении этих чисел, будет гомоморфной группе G. Единичный элемент группы G соответствует вращениям трехмерного пространства из (7. Эти вращения образуют нормальный делитель, а дополнительной группой является циклическая группа порядка два

Возьмем на плоскости XY правильный треугольник с вершинами:

и образуем группу G, состоящую из вращений плоскости вокруг начала угол 0°, 120°, 240°, при которых треугольник переходит в себя, и из симметрии плоскости относительно оси X с последующим вращением на угол 0°, 120°, 240°. Это будет группа диэдра при .

Выпишем все матрицы, соответствующие элементам этой группы;

Если мы обратимся к схеме умножения, определенной таблицей (34) из [56], то увидим, что эта схема умножения как раз и соответствует умножению матриц, образующих нашу группу.

Выше мы видели [59], что упомянутая схема умножения соответствует также симметрической группе перестановок из трех элементов:

Таким образом, если мы будем считать элементы этих двух групп, обозначенные одной и той же буквой, соответствующими, то эти две группы будут изоморфными. Перестановки группы (45) соответствуют перестановкам вершин упомянутого выше треугольника, если их занумеровать соответствующим образом.

Совершенно так же, как об этом мы уже упоминали в [59], группа тетраэдра изоморфна знакопеременной группе при

Можно указать общий прием построения групп перестановок, гомоморфных данной группе G. Пусть — какая-либо подгруппа группы G конечного индекса . Напишем соответствующие ей сопряженные совокупности элементов:

Если мы умножим каждую из этих совокупностей справа на некоторый элемент S из G, то произойдет лишь некоторая перестановка порядка этих совокупностей, и будем считать, что эта перестановка и соответствует взятому элементу S из G. Нетрудно показать, что таким образом и получится группа Q перестановок, гомоморфная группе

Для того чтобы элементу S из G соответствовал единичный элемент из необходимо и достаточно, чтобы при умножении справа на S всякая сопряженная совокупность переходила в себя, т. е. чтобы

где любой элемент и также принадлежит Н. Написанные равенства можно переписать в виде:

и из них следует, что для того чтобы элементу S соответствовал единичный элемент из G, необходимо и достаточно, чтобы S одновременно принадлежало Я и всем подобным подгруппам

Если — нормальный делитель G, то указанное требование сводится к тому, что S принадлежит Я, и группа G в этом случае изоморфна дополнительной группе. Если сводится к одному единичному элементу, то группа G изоморфна группе перестановок которая получается, если элементы группы

умножим справа на любой элемент S из G, что приведет к некоторой перестановке элементов G. В дальнейшем мы подробно рассмотрим построение групп линейных преобразований, изоморфных заданной группе.