ГЛАВА I. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

§ 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ И ЕГО СВОЙСТВА

1. Понятие об определителе.

Мы начнем настоящий параграф с решения простой алгебраической задачи, а именно задачи о решении систем уравнений первой степени. Рассмотрение этой задачи приведет нас к важному понятию об определителе.

Начнем с рассмотрения наиболее простых частных случаев. Возьмем сначала систему двух уравнений с двумя неизвестными:

Коэффициенты при неизвестных снабжены двумя значками, первый из которых указывает, в каком уравнении находится этот коэффициент, а второй значок указывает, при каком из неизвестных он стоит.

Решение написанной системы, как известно, имеет вид:

Возьмем теперь три уравнения с тремя неизвестными:

причем мы пользуемся прежними обозначениями для коэффициентов. Перепишем первые два уравнения в виде:

Решая их относительно неизвестных и по предыдущим формулам, будем иметь:

Подставляя эти выражения в последнее уравнение системы, получим уравнение для определения неизвестного и, наконец, решая это уравнение, будем иметь окончательное выражение для этого неизвестного:

Рассмотрим подробно конструкцию этого выражения. Заметим прежде всего, что его числитель может быть получен из знаменателя простой заменой коэффициентов при определяемом неизвестном свободными членами . Таким образом, остается выяснить закон образования знаменателя, который не содержит уже свободных членов и составлен исключительно из коэффициентов нашей системы. Запишем эти коэффициенты в виде квадратной таблицы, сохраняя тот порядок, в котором они стоят в самой системе

Написанная таблица содержит три строки и три столбца. Числа называются ее элементами. Первый из значков показывает, в какой строке стоит этот элемент, а второй значок указывает номер столбца. Выпишем теперь знаменатель выражения (1):

Как мы видим, он состоит из шести членов, и каждый его член есть произведение трех элементов таблицы (2), причем в этом произведении участвуют элементы каждой строки и каждого столбца. Действительно, эти произведения имеют вид:

где суть целые числа 1, 2, 3, расставленные в некотором определенном порядке. Таким образом, как первые, так и вторые знаки представляют собою совокупность целых чисел 1, 2, 3, и произведения (4) действительно содержат по одному элементу из каждой строки и из каждого столбца. Чтобы получить все члены выражения (3), надо в произведении (4) взять вторые значки в различных возможных порядках.

Таких возможных перестановок из вторых значков будет, очевидно, шесть:

и мы получаем, таким образом, все шесть членов выражения (3). Но мы видим, что некоторые из произведений (4) входят в выражение (3) со знаком плюс, а другие со знаком минус, и остается лишь выяснить то правило, согласно которому надо выбирать знак. Со знаком плюс, как мы видим, входят те произведения (4), у которых вторые значки образуют следующие перестановки:

а со знаком минус входят те произведения, вторые значки которых образуют перестановки:

Выясним теперь, чем перестановки (54) отличаются от перестановок (52). Назовем беспорядком в перестановке тот факт, что большее число стоит впереди меньшего, и подсчитаем число беспорядков в перестановках . В первой из этих перестановок беспорядков вовсе нет, т. е. число беспорядков равно нулю. Перейдем ко второй перестановке и сравним по величине каждое из чисел, в нее входящих, со всеми следующими. Мы видим, что здесь имеются два беспорядка, а именно число 2 стоит перед числом 1 и число 3 стоит перед числом 1. Точно так же нетрудно убедиться, что и третья из перестановок содержит два беспорядка. Одним словом, можно сказать, что все перестановки содержат четное число беспорядков. Совершенно так же исследуя перестановки (52), мы убеждаемся, что все они содержат нечетное число беспорядков. Мы можем теперь формулировать правило знаков в выражении (3), а именно: те произведения (4), в которых число беспорядков в перестановке, образованной вторыми значками, есть число четное, входят в выражение (3) без всякого изменения. Те же произведения (4), у которых перестановки, образованные вторыми значками, содержат нечетное число беспорядков, входят в выражение (3) с приписанным к ним знаком минус. Выражение (3) называется определителем третьего порядка, соответствующим таблице чисел (2). Нетрудно теперь обобщить предыдущее на случай определителей любого порядка.

Пусть имеется чисел, расставленных в виде квадратной таблицы, имеющей строк и столбцов:

Элементы этой таблицы суть заданные комплексные числа, причем значки l и k указывают номер строки и столбца, на пересечении которых стоит число Составим всевозможные произведения из чисел таблицы (6) так, чтобы эти произведения содержали по одному числу из каждой строки и из каждого столбца. Эти произведения будут иметь вид:

где суть числа расставленные в некотором порядке. Чтобы получить всевозможные произведения вида (7), нам надо взять всевозможные перестановки вторых значков. Как известно из элементарной алгебры, число таких перестановок будет равно факториалу целого числа n:

Каждая из этих перестановок будет иметь некоторое число беспорядков по сравнению с основной перестановкой

Те произведения вида (7), вторые значки которых образуют перестановку с четным числом беспорядков, возьмем без всякого изменения, а к тем произведениям вида (7), у которых перестановка вторых значков имеет нечетное число беспорядков, припишем знак минус. Сумма всех полученных таким образом произведений и называется определителем порядка, соответствующим таблице (6). Эта сумма будет, очевидно, содержать слагаемых. Нетрудно представить это определение в виде формулы. Введем для этого некоторое обозначение. Пусть некоторая перестановка из чисел 1, 2, n. Обозначим число беспорядков в этой перестановке символом

Тогда данное выше определение определителя, соответствующего таблице (6), может быть записано в виде следующей формулы, причем для обозначения определителя мы пишем таблицу (6) между вертикальными чертами

Здесь суммирование распространяется на всевозможные перестановки вторых значков, т. е. на всевозможные перестановки Говоря о таблице, как таковой, а не о С определителе, из нее составленном, мы ставим эту таблицу между двойными вертикальными чертами.

Заметим, что в выражении (3) мы в каждом произведении расставили сомножители в таком порядке, чтобы первые значки образовывали основную перестановку 1, 2, 3, и таким образом все наши рассуждения относились к перестановкам, образуемым вторыми значками. Можно, наоборот, поставить в каждом произведении сомножители так, чтобы вторые значки всегда шли в возрастающем порядке; при этом выражение (3) перепишется в виде:

Здесь первые значки образуют всевозможные перестановки , причем легко проверить, что правило знаков у членов выражения (9) может быть формулировано совершенно так же, как и выше, но только по отношению к первым значкам. Это приводит нас к тому, чтобы наряду с суммой (8) рассматривать аналогичную сумму вида:

Очевидно, что эта последняя сумма состоит из тех же членов, что и сумма (8). В дальнейшем мы увидим, что и знаки ее членов такие же, как и в сумме (8), т. е. так же, как и при сумма (10) совпадает с суммой (8).

Обратимся, наконец, к случаю При этом таблица имеет вид:

и формула (8) дает следующее выражение для определителя второго порядка, соответствующего этой таблице:

Из предыдущего непосредственно следует, что для выяснения свойств определителя необходимо познакомиться ближе со свойствами перестановок, к чему мы сейчас и переходим.