86. Представления группы Лоренца.

Рассмотрим группу линейных преобразований с определителем единица:

Матрица преобразования содержит четыре комплексных коэффициента, между которыми имеется одно соотношение. Произвольными остаются три комплексные величины, что сводится к шести вещественным параметрам. Введем эти параметры, принимая следующее обозначение для матрицы преобразования:

где

Мы получаем шесть бесконечно малых преобразований которые легко построить. Например, для построения надо в матрице А положить все кроме равными нулю, продифференцировать матрицу по и затем положить . Таким образом, будем иметь:

Структурные постоянные , входящие в соотношения (208), по самому их определению должны быть вещественными и могут быть найдены из этих соотношений:

При этом надо отметить, что между матрицами не существует линейного соотношения (кроме тривиального) с вещественными коэффициентами, поэтому можно получить следующие пятнадцать равенств:

Если бесконечно малые преобразования для любого представления исследуемой группы, то между ними также имеют место пятнадцать соотношений

с теми же коэффициентами С. Если мы введем обозначения

то упомянутые пятнадцать соотношений записываются в следующем виде:

и, кроме того,

Отметим, что соотношения (226) и (227) выполняются тривиально, если взять матрицы ибо при этом Соотношения (227) совпадают с соотношениями (213) и рассуждения предыдущего номера остаются по существу в силе. Мы применяем написанные соотношения для бесконечно малых преобразований любого линейного представления группы (223). Если собственный вектор оператора относящийся к наибольшему собственному значению, то имеется собственных векторов оператора которые преобразуются операторами согласно формулам (221), причем Пусть подпространство, образованное всеми собственными векторами оператора относящимися к собственному значению у. Покажем, что если вектор v принадлежит то и векторы принадлежат Действительно, в силу (226):

откуда и следует, что есть собственный вектор соответствующий собственному значению j (или нулевой вектор), т. е. входит в . В мы можем повторить наши рассуждения из [85], заменяя операторы операторами . Следовательно, можно построить в ряд векторов которые преобразуются согласно формулам (221) при замене j на на . Каждый вектор при повторном применении операции дает векторов

Таким образом окончательно получается векторов , для которых имеют место соотношения:

Эти формулы определяют в пространстве с числом измерений операторы и согласно формулам (225) определяются операторы после чего уравнение (204) может приводить лишь к одному линейному представлению группы. Это есгь то представление, которое мы строили в [80].

В последних номерах мы следовали изложению, приведенному в книге Ван-дер-Вардена теории групп в квантовой механике".