Главная > Курс высшей математике, Т.3. Ч.1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

31. Процесс ортогонализации векторов.

Положим, что нам даны каких-нибудь линейно-независимых векторов Совокупность векторов вида:

где произвольные коэффициенты, определяет все наше пространство, если и некоторое подпространство измерения , если Покажем, что мы всегда можем построить ортонормированную систему векторов которая образует то же подпространство что и векторы

Иначе говоря, должны выражаться линейно через и, наоборот, должны ныражаться через Эти векторы мы можем построить по следующей схеме:

где

Вектор получается из простым делением на длину и, следовательно, длина равна единице. Затем строится вектор по указанной выше формуле. Из самого его определения непосредственно вытекает, что он ортогонален с

Деля вектор на его длину, получаем вектор Затем дальше строим вектор по указанной выше формуле. Из нее непосредственно вытекает, что он ортогонален с

Действительно, в силу ортогональности и получим, например:

Деля вектор на его длину, получаем вектор и т. д.

Все вновь построенные векторы выражаются линейно через Нетрудно видеть и наоборот, что выражаются через . Для этого достаточно только постепенно решать предыдущие равенства относительно и т. д.

Заметим также, что ни один из вновь построенных векторов не может обратиться в нуль. Действительно, если бы мы на некотором шаге вычислений получили вектор равный нулю, то, так как он выражается линейно через причем коэффициент при в этом линейном выражении равен единице, то мы получили бы линейную зависимость между векторами что противоречит тому условию, что эти векторы линейно-независимы.

Напомним, что если имеется некоторая совокупность попарно ортогональных векторов, отличных от нулевого вектора, то эти векторы линейно-независимы.

Если то дают полную ортонврмированную систему. Если же то для получения полной системы декартовых координат мы должны в дополнение к построенным векторам достроить еще векторов, которые были бы ортогональны и между собой и к векторам

Эти новые единичные векторы должны, таким образом, образовывать подпространство измерения ортогональное подпространству Новые искомые векторы и должны удовлетворять системе уравнений

Здесь мы имеем систему однородных уравнений с неизвестными, причем ранг этой системы равен , поскольку векторы линейно-независимы [12]. Эта система имеет линейно-независимых решений, т. е. мы получаем линейно-независимых векторов. Применяя к ним указанный выше процесс ортогонализации и приводя их длину к единице, мы и получим совместно с полную ортонормированную систему. Сделаем еще одно замечание. Подпространство образованное ортонормированной системой векторов может быть образовано и другой такой же системой. Действительно, достаточно для этого применить к системе векторов унитарное преобразование. Мы видим, таким образом, что процесс ортогонализации системы векторов может совершаться различным образом, и указанный выше прием дает лишь одну из таких возможностей.

1
Оглавление
email@scask.ru