14. Геометрическая интерпретация однородных систем.

Рассмотрим однородную систему

Введем векторы:

При этом система (25) может быть записана в следующем сжатом виде:

т. е. дело сводится к нахождению вектора перпендикулярного ко всем векторам . Если определитель отличен от нуля, то, очевидно, и определитель с ним сопряженный по величине, также отличен от нуля. В этом случае векторы линейно-независимы, и система (27) имеет только нулевое решение, т. е. не существует вектора (кроме нуля), который был бы одновременно перпендикулярен к линейно-независимым векторам (в -мернам пространстве).

Рассмотрим теперь другой случай, когда определитель системы (25) равен нулю. Положим, что ранг системы будет k. Если составить таблицу из сопряженных элементов, то входящие в нее определители будут по величине сопряженными с определителями, входящими в таблицу и ранг сопряженной таблицы будет также очевидно k. Таким образом, по доказанному выше, среди векторов будет k линейно-независимых, а остальные векторы будут их линейными комбинациями. Не ограничивая общности, можем считать, что эти линейно-независимые векторы суть

а для остальных будем иметь выражения вида:

где численные коэффициенты. Из последнего непосредственна следует, что если перпендикулярен векторам (28), то тем самым он будет перпендикулярен и ко всем векторам Действительно;

и вся сумма равна нулю, так как каждое из отдельных слагаемых по условию обращается в нуль. Итак, достаточно решить первые k уравнений системы

Считая, как всегда, что определитель порядка отличный от нуля, стоит в левом верхнем углу, для искомого вектора мы получим линейно-независимых решений тем способом, который был указан в [12], и всякое решение будет представлять собою линейную комбинацию этих векторов. Можно сказать, что в данном случае векторы, определяемые формулой

где произвольные постоянные, образуют пространство измерения которое является подпространством для всего пространства измерений. Совершенно так же найденные векторы образуют некоторое подпространство измерения . Подпространство ортогонально подпространству в том смысле, что всякий вектор из ортогонален всякому вектору из очевидно, наоборот). Подпространство состоит из векторов, которые удовлетворяют системе (27), т. е. ортогональны Нетрудно видеть, что векторов линейно-независимы. Действительно, положим, что между ними существует соотношение:

Первая скобка дает некоторый вектор а из а вторая — некоторый вектор из и мы имеем или . Но векторы а и взаимно-ортогональны, т. е. оказывается, что вектор а ортогонален сам себе, иначе говоря или откуда следует, что вектор а есть нулевой вектор; то же можно сказать и о векторе Итак:

Но векторы по условию, линейно-независимы, и, следовательно, все постоянные должны быть равны нулю; то же можно утверждать и относительно Итак, в соотношении (29) все коэффициенты должны быть равны нулю, т. е. векторы действительно линейно-независимы.

Всяки вектор единственным образом может быть представлен в виде:

причем первая скобка дает вектор, принадлежащий а вторая — вектор, принадлежащий Векторы, входящие в состав суть, как мы уже упоминали, всевозможные решения системы (27), и таким образом при любом выборе полной системы линейно-независимых решений число таких решений будет равно т. е. числу измерений Приведенное выше исследование однородной системы приводит нас к следующему важному результату:

Если имеется подпространство измерения то векторы, ортогональные к этому подпространству, образуют подпространство измерения и всякий вектор из может быть представлен в виде суммы где у принадлежит и z принадлежит

Покажем, что такое представление единственно.

Пусть, кроме указанного представления, имеется еще одно: где и из Надо доказать, что Мы имеем: у откуда у Разность у — и принадлежит а разность принадлежит откуда следует, что вектор у — и ортогонален сам себе, т. е. или откуда . При этом из следует, что Вектор у, входящий в представление называется проекцией в подпространство . В указанном представление векторы ортогональны, и теорема Пифагора дает: откуда следует, что причем знак равенства имеет место в том и только в том случае, когда z есть нулевой: вектор, т. е. когда принадлежит так что Аналогична и знак равенства имеет месго только в том случае когда ортогонально Подпространства называются, обычно, дополнительными ортогональными подпространствами. Если то есть все сводится к одному нулевому вектору.

Положим, что мы имеем вещественное трехмерное пространство», о котором мы говорили выше, и пусть так что Подпространство есть некоторая плоскость проходящая через точку есть прямая, проходящая через О и перпендикулярная Р. Всякий вектор может быть единственным образом представлен как сумма двух векторов, из которых один лежит в плоскости а другой — на прямой Мы провели геометрическую интерпретацию решения однородной системы в том случае, когда число уравнений равно числу неизвестных. Совершенно так же можно провести рассуждения и в общем случае, когда число векторов обязательно равно числу п. Аналогичное замечание относится и к следующему номеру.