Главная > Курс высшей математике, Т.3. Ч.1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

41. Коммутирующие эрмитовские матрицы.

Пусть А и В — две эрмитовские матрицы. Посмотрим, при каких условиях и их произведение ВА будет эрмитовской матрицей. Составим матрицу, эрмитовски сопряженную с произведением ВА:

или, в силу эрмиговского характера А и В:

Для того чтобы ВА было эрмитовской матрицей, необходимо и достаточно, чтобы АВ совпадало с ВА, т. е. чтобы матрицы коммутировали.

Положим, что эрмитовские мафицы А и В приводятся к диагональной форме при помощи одного унитарного преобразования

Нетрудно видеть, что в этом случае они будут коммутировать

Покажем теперь, что и наоборот: если две эрмитовские матрицы коммутируют, то их можно при помощи одного и того же унитарного преобразования одновременно привести к диагональной форме, т. е. переместительность эрмитовских матриц является не только необходимым, но и достаточным условием возможности их одновременного приведения при помощи унитарного преобразования к диагональной форме. Итак, положим, что . Заметим при этом, что и подобные им матрицы будут также коммутировать. Действительно:

и точно такое же выражение получится для произведения

Положим, что за С мы выбрали унитарное преобразование, приводящее А к диагональной форме, и подвергли такому же преобразованию и матрицу В. Новые матрицы будут также коммутировать, и мы можем, таким образом, при доказательстве нашего предложения считать просто, что матрица А уже имеет диагональную форму, т. е. что элементы удовлетворяют условию

Обозначим через элементы матрицы В и запишем условие, что наши матрицы коммутируют:

В силу (189) условия эти будут иметь вид:

Если все числа различны, то из последних равенств; непосредственно следует, что при т. е. что матрица В также имеет диагональную форму, и предложение доказано.

Перейдем теперь к рассмотрению общего случая, когда среди чисел имеются одинаковые. Для определенности предположим, что числа эти распадаются на две группы одинаковых между собой чисел:

Из формулы (190) непосредственно следует, что в этом случае элементы могут быть отличны от нуля только тогда, когда или оба значка i и k больше или оба они не больше .

Таким образом, в данном случае матрица В имеет квазидиагональную форму:

где некоторая эрмитовская матрица порядка эрмитовская матрица порядка . В раскрытой форме мы можем написать матрицу В в виде:

Мы можем не меняя диагональной формы подвергать подпространство, образованное первыми ортами, любому унитарному преобразованию, и то же самое относится к подпространству, образованному последними ортами. Выберем эти унитарные преобразования и V так, чтобы матрицы В у и записались в диагональной форме. В общем мы будем иметь унитарное преобразование всего -мерного пространства, имеющее квазидиагональную форму

В силу сказанного выше, в новых координатах матрица А сохранит диагональную форму, а матрица В примет вид:

т. e. будет также иметь диагональную форму, наше предложение доказано.

Если мы теперь построим для наших коммутирующих матриц уравнения

то из предыдущего непосредственно следует, что для обоих этих уравнений мы можем построить одну и ту же систему линейнонезависимых решений. Эти решения и будут давать столбцы той унитарной матрицы U, которая приводит обе наши матрицы к диагональной форме. Иначе говоря, мы можем для двух коммутирующих эрмитовских матриц построить одну и ту же полную систему линейно-независимых собственных векторов. Что же касается собственных значений, т. е. значений параметров X и то они будут, конечно, вообще говоря, различными. Заметим, что из предыдущего еще не следует, что всякий собственный вектор матрицы А будет и собственным вектором матрицы В. Если все собственные значения А и В различны, так что каждому значению и соогветствует с точностью до численного множителя только один вектор, то это будет, конечно, так.

Но это уже не будет, вообще говоря, иметь места, если среди собственных значений есть одинаковые. Пусть есть полная система собственных векторов матриц А и соответствующие собственные значения. Положим, например, что но При этом векторы при любом выборе постоянных будут собственными векторами для но уже не будут собственными векторами для В.

Все предыдущие рассуждения легко переносятся и на случай нескольких матриц, а именно: если имеется несколько эрмитовскх матриц то для того, чтобы их можно было одновременно привести к диагональной форме при помощи унитарного преобразования, необходимо и достаточно, чтобы они попарно коммутировали, т. е. при любых i и k от 1 до l.

1
Оглавление
email@scask.ru