26. Основы матричного исчисления.

В формулах, приведенных в предыдущем номере, матрица входила в качестве нового символа, над которым мы могли производить и некоторые действия, аналогичные действиям над обычными числами. Это приводит нас к естественной мысли построить новую алгебру, которая годилась бы для символов, под которыми мы подразумеваем матрицы.

Иначе говоря, мы будем толковать матрицу как новый вид числа, как некоторое гпперкомплексное число. Совершенно так же, как с помощью двух вещественных чисел мы пришли выше к построению чисел новой природы, а именно комплексных чисел вида , так и теперь мы с помощью комплексных чисел расставленных в виде квадратной таблицы, приходим к понятию нового числа — матрицы. Но только надо отметить их существенную разницу. А именно, мы видели, что над буквами, изображающими комплексные числа, можно производить все формальные операции алгебры, известные для вещественных чисел. Для матриц мы получим алгебру, существенно отличную от известной нам алгебры комплексных чисел. Существенным моментом, который вызывает это отличие, является некоммутативность умножения, т. е. зависимость результата умножения от порядка сомножителей. Мы переходим сейчас к установлению основных правил алгебры матриц, причем во многих отношениях руководящим путем для нас будут служить те результаты, которые мы получили выше, толкуя матрицу как таблицу линейного преобразования.

Везде в дальнейшем, если не будет оговорено особо, мы будем рассматривать квадратные матрицы одного и того же порядка п. Если А — такая матрица, то, как и выше, ее элементы будем обозначать через .

Две матрицы А и В считаются равными тогда и только тогда, когда

т. е. когда все их соответствующие элементы одинаковы.

Сложение матриц определяется по формуле:

т. е. сводится к сложению соответствующих элементов.

Произведение определяется по формуле:

Как мы выше видели, вообще говоря, , но имеет место сочетательный закон [21]:

Определитель произведения равен произведению определителей перемножаемых матриц:

Имеет место, очевидно, и распределительный закон:

Отметим еще одну особенность умножения, а именно произведение матриц может обращаться в нуль, т. е. в матрицу, у которой все элементы равны нулю, хотя все сомножители и отличны от нуля. В качестве примера приведем произведение двух одинаковых матриц второго порядка

Совершенно так, как было указано в предыдущем номере, вводится понятие обратной матрицы если А — неособая матрица, т. е. если Если ранги матриц то, как мы видели, Если В — неособая матрица, то и, как и выше, можно утверждать, что и, следовательно, т. е. при умножении матрицы А на неособую матрицу В (справа или слева) ее ранг не меняется. Для единичной матрицы I имеет место соотношение

где В — любая матрица.

Нетрудно видеть, что матрица является единственным решением уравнений

где единичная матрица. Действительно, умножая, например, первое из этих равенств слева на и принимая во внимание (79) и (67), получим и аналогично для второго уравнения. Отметим, что если то уравнения (83) вовсе не имеют решений, т. е. матрица Л не имеет обратной. Действительно, как следствие уравнений (83), имеем: что противоречит условию

Напомним также понятие диагональной матрицы, введенное в предыдущем номере, а также того, что всякое число k можно рассматривать как частный случай матрицы. Нетрудно ввести понятие целой положительной степени матрицы

Целые отрицательные степени матрицы вводятся как целые положительные степени обратной матрицы, т. е.

Имеем, очевидно:

Символ частного двух матриц

не имеет определенного смысла. Мы можем толковать его двояко — или как произведение или как произведение причем эти два произведения, вообще говоря, различны, и только в тех частных случаях, когда они совпадают, символ частного имеет определенный смысл.

Далее, основным понятием является понятие подобных матриц, которое мы также ввели в предыдущем номере. Отметим некоторые очевидные формулы

Если через обозначить матрицу, транспонированную по отношению к А, то имеет место формула:

которую нетрудно проверить, пользуясь определением умножения. Введем два обозначения. Обозначим через А матрицу, элементы которой суть числа, сопряженные с элементами матрицы А, т. е.

причем символом а обозначаем комплексное число, сопряженное с а, и через А матрицу, которая получается из А, если строки заменить столбцами и все элементы — сопряженными числами, т. е.

Матрица А называется иногда сопряженной или эрмитовски сопряженной с матрицей Нетрудно проверить формулу

Предлагаем проверить также следующую элементарную формулу:

т. е. что знак обратной матрицы и транспонирования можно менять местами, о чем мы уже упоминали и выше [20].

Отметим еще одну полезную в дальнейшем формулу. Из соотношения (67) непосредственно вытекает

т. е.

Иначе говоря, определитель обратной матрицы обратен по величине определителю основной матрицы.

Введем еще понятие квазидиагональ ной матрицы, являющейся обобщением диагональной матрицы. Выясним это понятие сначала на частном случае. Пусть имеется матрица седьмого порядка вида:

Обозначим через В матрицу третьего порядка с элементами а через С и D — матрицы второго порядка с элементами Предыдущая матрица седьмого порядка называется квазидиагональной структуры и обозначается символом

Положим вообще, что главная диагональ матрицы порядка , состоящая из элементов разбита на частей, причем первая часть состоит из первых элементов, вторая из следующих элементов и так далее, так что можем рассматривать первые элементов как главную диагональ некоторой матрицы порядка следующие элементов — как главную диагональ некоторой матрицы порядка и так далее. Положим, что все элементы нашей матрицы А, не принадлежащие к матрицам равны нулю. При этом матрица А называется квазидиагональной матрицей структуры обозначается следующим образом:

Правила действия с квазидиагональными матрицами одинаковой структуры отличаются большой простотой. Мы приведем соответствующие формулы, не останавливаясь на их доказательстве. Оно может быть проведено совершенно элементарно на основе определения действий. Для сложения квазидиагональных матриц одинаковой структуры мы имеем формулу

причем одинаковость структуры равносильна тому, что порядок всякой матрицы совпадает с порядком соответствующей матрицы

Точно так же для умножения и возвышения в степень имеем:

где — любое целое положительное или отрицательное число, причем, если есть целое отрицательное число, то необходимо, конечно, требовать, чтобы определители были отличны от нуля.

Правило подобного преобразования матрицы при помощи матрицы той же структуры выражается формулой:

Отметим геометрический смысл тех линейных преобразований которые доставляются квазидиагональными матрицами. Рассмотрим для простоты случай указанной выше квазидиагональной матрицы седьмого порядка, структуры . Рассмотрим линейное преобразование, соответствующее этой матрице. Если в первоначальном векторе мы имеем: , то и в преобразованном, очевидно, будет: т. е., иными словами, все векторы, которые принадлежат подпространству, образованному тремя первыми основными ортами, и после преобразования будут принадлежать этому подпространству, и само преобразование будет определяться матрицей третьего порядка В. То же относится к подпространству, образованному следующими двумя ортами, и, наконец, к подпространству, образованному последними двумя ортами.

Напомним при этом, что подпространством, образованным векторами мы называем совокупность векторов, определяемых формулой

где произвольные постоянные.