43. Матрицы проектирования.

Мы переходим теперь к рассмотрению некоторого частного случая эрмитовских матриц. Пусть -некоторое под-пространство измерения образованное линейно-независимыми векторами Это подпространство представляет собою совокупность векторов вида:

где произвольные численные коэффициенты. Ортогонализируя векторы мы можем построить ортонормированную систему векторов, которая образует то же подпространство Мы можем далее дополнить ее до полной ортонормированной системы векторов, построив еще ортонормированную систему

Эти последние векторы образуют некоторое подпространство из мерения , причем два подпространства взаимно ортогональны в том смысле, что любой вектор подпространства ортогонален любому вектору подпространства Разлагая произвольный вектор по ортам

мы можем представить его в виде суммы двух векторов:

из которых один принадлежит а второй

Нетрудно видеть, что такое разложение любого вектора на два составляющих единственно. Действительно, положим, что, кроме разложения (201), мы имеем второе разложение указанного выше свойства. Отсюда или

Вектор, стоящий слева, принадлежит а справа и, следовательно, должны быть ортогональны.

Но каждый вектор, ортогональный сам себе, равен, очевидно, нулю [14] и, следовательно, т. е. совпадает с , т. е. векторы u и v определяются по вектору единственным образом. Вектор и называется проекцией вектора в подпространство матрица, которая осуществляет переход от вектора к вектору и, называется матрицей проектирования в подпространство и мы ее обозначим через Вид этой матрицы зависит, конечно, от выбора координатных осей

Если за основные орты мы выберем то вектор представляется формулой (201), а вектор u — формулой

и в данном случае операция проектирования сводится просто к тому, что первые составляющих остаются прежними, а остальные делаются равными нулю. Соответствующая матрица проектирования будет, очевидно, диагональной матрицей вида: где первые мест заняты единицами, а остальные нулями. Если бы мы иначе пронумеровали орты, то получили бы только другой порядок элементов, но по-прежнему имели бы диагональную матрицу, состоящую из единиц и нулей. В общем случае при любом выборе декартовых осей матрица проектирования имеет вид:

где U есть некоторая унитарная матрица, и собственные значения PR равны или нулю, или единице. Наоборот, всякая эрмитовская матрица указанного вида есть матрица проектирования в некоторое подпространство, число измерений которого равно числу собственных значений равных единице.

Можно определить матрицу проектирования и иным образом, а именно: матрица проектирования есть такая эрмитовская матрица, которая удовлетворяет соотношению

Действительно, принимая во внимание, что нетрудно проверить, что матрицы вида (202) удовлетворяют соотношению (203). Наоборот, если некоторая эрмитовская матрица удовлетворяет соотношению и мы представим ее в виде: то в силу откуда непосредственно следует, что или 0. Если все характеристические числа матрицы равны единице, то эта матрица есть единичная матрица, и ей соответствует тождественное преобразование, т. е., иначе говоря, проектирование вектора во все пространство (вектор остается неизменным). Исключая этот тривиальный случай, мы будем иметь у матрицы проектирования хоть одно характеристическое число равным нулю и, следовательно, определитель этой матрицы, равный произведению характеристических чисел, будет также равен нулю, и мы не можем, конечно, говорить об обратной матрице

Заметим еще, что непосредственно из определения следует, что матрица проектирования не меняет вектора, если он принадлежит подпространству и уменьшает длину вектора, если он не принадлежит

После этих предварительных сведений перейдем к рассмотрению некоторых действий с матрицами проектирования. Пусть имеются две матрицы проектирования Р и , такие, что их произведение равно нулю, т. е. матрице, все элементы которой равны нулю:

Возьмем некоторый вектор из подпространства R, так что Формула (204) даст нам:

Но отсюда непосредственно следует, что ортогонален к любому вектору из подпространства S. Действительно, в противном случае мы могли бы найти в подпространстве S единичный вектор у, не ортогональный к и, принимая его за первый орт, мы имели бы для первой составляющей вектора величину, отличную от нуля и при проектировании в S эта составляющая осталась бы неизменной. Таким образом мы видим, что при выполнении условия (204) всякий вектор из R ортогонален всякому вектору из S, а следовательно, и наоборот. Но тогда наряду с (204) мы имеем и

Действительно, для любого вектора у, вектор принадлежит S, а потому ортогонален ко всем векторам из R, т. е. для любого вектора у мы имеем: что и равносильно (205). Наоборот, если два подпространства R и S взаимно ортогональны в указанном выше смысле, то имеют место (204) и (205).

Рассмотрим теперь сумму двух матриц проектирования:

и положим, что выполнены условия (204) и (205). Покажем, что матрица (206), которая является, очевидно, эрмитовской матрицей, будет также матрицей проектирования. Для этого убедимся, что квадрат ее совпадает с ней самой:

откуда, в силу сделанного условия и того, что и суть матрицы проектирования, имеем:

Нетрудно показать, что в рассматриваемом случае матрице Р соответствует операция проектирования в подпространство которое образуется соединением подтространств R и S в том смысле, что подпространство образовано совокупностью всех тех векторов, которые служили для образования подпространств R и т. е. если векторы образовывали R и образовывали s, то подпространство будет представляться совокупностью векторов:

где - произвольные постоянные. Предыдущее свойство обобщается и на любое число слагаемых:

Если подпространства попарно взаимно ортогональны, т. е. если любой вектор из ортогонален к любому вектору из при различных i и у, то сумма (207) представляет собою матрицу проектирования в подпространство образованное всеми теми векторами, которые служили для образования подпространств s. В частном случае эта сумма может быть равной единичной матрице в этом случае обычно говорят о разложении единицы на матрицы проектирования или просто о разложении единицы.

Рассмотрим еще произведение двух матриц проектирования

Для того чтобы это произведение также было матрицей проектирования, необходимо прежде всего, чтобы это произведение было эрмитовской матрицей, а для этого, как известно [41], необходимо, чтобы наши матрицы коммутировали

Покажем, что это условие достаточно, т. е. что в данном случае квадрат матрицы совпадает с самой матрицей Р:

или, переставляя матрицы в силу условия (209):

что и требовалось доказать. Нетрудно проверить, что при условии коммутирования (209) матрице (208) соответствует проектирование в подпространство, образованное векторами, общими тем двум совокупностям векторов, которые образуют

Отметим еще один результат, не останавливаясь на его доказательстве, которое не представляет никакого труда, а именно: если подпространство S составляет часть подпространства то разность

есть также матрица проектирования. Если суть основные векторы, образующие S, то для получения основных векторов, образующих мы должны добавить к вышеуказанным векторам еще один или несколько линейно независимых векторов. Эти последние векторы сами по себе образуют некоторое подпространство Г, и матрица (210) в рассматриваемом случае и будет матрицей проектирования в это подпространство.

Пользуясь матрицами проектирования, можно формулировать задачу приведения эрмитовской матрицы к диагональной форме вполне однозначным образом и при валичш! кратных собственных значений.

Положим, например, что мы имеем матрицу

где - некоторая унитарная матрица. Положим для определенности, что числа распадаются на две части, одинаковые между собой, причем первые чисел равны j, а остальные равны

Мы можем, очевидно, переписать нашу матрицу в виде:

Введем в рассмотрение матрицы проектирования

Соответствующие подпространства и s, очевидно, взаимно ортогональны, и наши матрицы проектирования в сумме дают единичную матрицу. Мы имеем таким образом в данном случае причем

В общем случае задача приведения эрмитовской матрицы к диагональной форме сводится к такому разложению единичной матрицы

чтобы наша матрица А могла быть представлена в виде:

где - различные собственные значения нашей матрицы. Таким образом всякой эрмитовской матрице соответствует определенное разложение единицы (211) такое, что эта матрица представляется в виде (212).

Нетрудно перевести все предыдущие результаты на язык не матриц, а форм Эрмита. Всякой матрице проектирования Р с элементами соответствует некоторая форма Эрмита

которая называется иногда особой формой (Einzelform). Символ краткая запись

Если соответствующее подпространство R имеет измерений и мы выберем за первые ортов единичных взаимно ортогональных векторов подпространства то в такой координатной системе наша форма (213) будет иметь вид:

Заметим далее, что если матрицы являются разложением единицы, согласно (211), то, выбирая за орты единичные взаимно ортогональные векторы в каждом из подпространств мы будем, очевидно, иметь:

и, следовательно, при всяком выборе координатных осей сумма

выражает квадрат длины вектора. Мы можем, таким образом, сказать, что задана приведения формы Эрмита А к сумме квадратов равносильна следующим двум равенствам:

Введение матриц проектирования позволяет, таким образом, формулировать задачу приведения эрмитовской матрицы к диагональной форме без всякого специального выбора координатных осей. Это дает в свою очередь возможность перенести предыдущие результаты, с соответственными изменениями, и на случай пространства с бесчисленным множеством измерений, что и является основной задачей математического аппарата современной квантовой механики. Мы будем говорить об этом лишь значительно позже. Это распространение на случай бесчисленного множества измерений выводит нас из рамок алгебры и существенным образом связано с введением аппарата анализа.