67. Абелевы группы и представления первого порядка.

Группа называется абелевой, если все ее элементы попарно коммутируют, т. е. если при любых значках Пусть матрицы, соответствующие в некотором линейном представлении. Произведению соответствует а произведению соответствует Но упомянутые произведения совпадают, и, следовательно, мы должны иметь:

т. е. матрицы, образующие линейное представление абелевой группы, попарно коммутируют.

Положим, что представление унитарно, т. е. что все матрицы унитарны. При этом, как известно, существует такое унитарное преобразование U, что матрицы имеют чисто диагональную форму [42], т. е. в данном случае некоторое эквивалентное линейное представление состоит из чисто диагональных матриц

Мы видим, таким образом, что в данном случае линейное представление распадается на представлений первого порядка

Итак, всякое унитарное представление абелевой группы эквивалентно некоторой совокупности представлений первого порядка, причем переход к эквивалентному представлению совершается также с помощью унитарного преобразования,

Рассмотрим теперь ряд примеров представлений абелевых групп, а также некоторые примеры линейных представлений первого порядка и не абелевых групп.

Пример 1. В качестве первого примера рассмотрим циклическую (абелеву) группу порядка состоящую из элементов

Если элементу соответствует линейное преобразование или, что то же, число , то элементам (90) будут соответствовать следующие числа:

Поскольку мы должны иметь т. е.

где k — некоторое целое число, которое мы можем, очевидно, принимать равным одному из чисел ряда

Рассмотрим подробнее случай При этом будет:

При обоим элементам I и S соответствует одно и то же тождественное преобразование или число 1; при элементу соответствует преобразование а элементу — преобразование или, проще говоря, элементу число 1, а элементу . В физических применениях представляется важным тот случай, когда группа состоит из тождественного преобразования трехмерного пространства и преобразования симметрии относительно начала:

Мы имеем, очевидно, Указанные выше два представления можно назвать тождественным и знакопеременным представлением симметрии относительно начала.

Пример 2. Рассмотрим группу вращения вокруг оси Z. Матрицы этой группы имеют вид:

и, кроме того, как мы видели раньше, удовлетворяют очевидному соотношению

Такому же соотношению удовлетворяет также функция .

Но надо заметить, что если то поворот равносилен тождественному преобразованию, и, следовательно, мы должны иметь т. е. число должно быть вида где k — любое целое число

Мы имеем, таким образом, бесчисленное множество линейных представлений нашей группы вращения, причем матрице (91) соответствует число

Придавая целому числу k всевозможные значения

мы и будем иметь бесчисленное множество линейных представлений группы вращения.

Пример 3. Рассмотрим теперь группу, состоящую из перестановок над элементами. Мы можем каждой перестановке сопоставить число Так получится то, что называется симметрическим представлением группы перестановок. Иначе, мы можем всякой перестановке первого класса, состоящей из четного числа транспозиций, сопоставить число а всякой перестановке второго класса — число Таким образом получится то, что называется антисиммегрическим представлением группы перестановок. В этом представлении всякой перестановке из знакопеременной подгруппы соответствует число а остальным перестановкам соответствует число Можно показать, на чем мы не останавливаемся, что указанными двумя случаями и исчерпываются все возможности линейных представлений первого порядка для группы перестановок, Эта группа имеет и другие представления выше первого порядка.

Пример 4. Рассмотрим теперь группу всех вещественных ортогональных преобразований на плоскости, т. е. группу, образованную вращениями плоскости вокруг начала, соединенными с симметрией относительно оси Y. Как мы видели выше [52], матрицы этой группы будут иметь вид:

где для чистого вращения и для вращения, соединенного с симметрией. Кроме очевидного линейного представления первого порядка, при котором каждой матрице (92) соответствует число (4-1), мы можем построить еще линейное представление первого порядка, при котором матрице (92) соответствует число если и число если . Это даст нам действительно линейное представление, так как произведение двух матриц вида (92) соответствует чистому вращению, если d имеет одинаковые знаки, и вращению с симметрией, если d имеет разные знаки в перемножаемых матрицах.