33. Случай кратных корней характеристического уравнения.

Перейдем теперь к рассмотрению общего случая, когда уравнение (144) может иметь и одинаковые корни. Возьмем некоторый корень уравнения (144) и построим соответствующее ему решение уравнения (142).

Это будет некоторый вещественный вектор длины единица. Присоединим к нему еще вещественных единичных векторов, которые бы вместе с ним образовывали полную ортонормированную систему [31]. Переход от основных ортов к этим новым ортам будет, как мы знаем, выражаться некоторым ортогональным преобразованием над составляющими векторами, и матрица А перейдет в подобную матрицу Соответствующее этой новой матрице уравнение

будет иметь в качестве решения, соответствующего собственному значению (собственные значения не меняются при преобразовании подобия), вектор который мы приняли за первый орт и который имеет, следовательно, составляющие Подставляя это решение в уравнение (149), будем иметь:

откуда непосредственно следует для элементов первого столбца

Покажем теперь, что вещественная матрица будет также симметрична, т. е. будет совпадать со своей транспонированной. Действительно:

Но в силу ортогональности матрицы

откуда следует

Принимая во внимание формулы (150) и симметричность матрицы мы можем написать:

т. е. у матрицы все элементы первой строки и первого столбца обращаются в нуль, кроме, может быть, элемента т. е. эта матрица имеет форму:

где через мы обозначили элементы А.

Квадратичная форма в новых переменных будет иметь вид:

Таким образом мы выделили один квадрат и пришли к рассмотрению квадратичной формы с переменными

или, что аналогично, к рассмотрению соответствующей ей матрицы Q порядка являющейся частью матрицы Здесь мы можем рассуждать совершенно так же, как и выше, и в подпространстве измерения, образованном последними ортами, можем выделить некоторый единичный вектор являющийся решением уравнения

Этот вектор будет, очевидно, ортогонален вектору . В результате этого второго преобразования орт сохранится, а остальные орты перейдут в другие, взаимно ортогональные единичные орты, первым из которых будет . В этих новых переменных квадратичная форма будет иметь вид:

Продолжая так и дальше, мы приведем, наконец, квадратичную форму к сумме квадратов, т. е. соответствующую ей матрицу к диагональной форме. Это получится в результате применения нескольких ортогональных преобразований, что, очевидно, равносильно применению одного ортогонального преобразования В, являющегося их произведением.

Окончательная диагональная матрица

будет подобна основной матрице А, и, следовательно, ее характеристическое уравнение

будет совпадать с уравнением (144), иными словами, коэффициенты при квадратах в приведенной квадратичной форме

будут корнями уравнения (144), причем каждый кратный корень будет повторяться столько раз, сколько единиц содержит его кратность.

Каждый столбец окончательного ортогонального преобразования В дает, как мы знаем, вектор, являющийся решением уравнения (142), причем из самого закона построения следует, что соответствующее значение совпадает с тем коэффициентом в квадратичной форме (152), который стоит при соответствующей переменной. Укажем более точно это соотношение. В силу (136) ортогональное преобразование удовлетворяющее условию (140), переводит переменные в переменные .

Обратное преобразование будет транспонированным по отношению к В, т. е. мы будем иметь:

и вектор имеющий составляющие будет решением уравнения (142), при

Покажем, наконец, что мы нашли все решения уравнения (142). Прежде всего, из предыдущих рассуждений вытекает, что значение должно быть корнем уравнения (144). Возьмем какой-нибудь корень этого уравнения X и положим для определенности, что его кратность равна трем, причем можно, конечно, считать, что Предыдущие рассуждения дают нам для уравнения

три решения:

Покажем, что всякое решение уравнения (154) должно быть их линейной комбинацией. Действительно, если бы это было не так, то мы имели бы еще некоторое решение этого уравнения у, линейнонезависимое с Вектор у может оказаться и комплексным, но в этом последнем случае его вещественная и мнимая части в отдельности должны удовлетворять уравнению (154), так как это уравнение имеет вещественные коэффициенты. Очевидно, что по крайней мере одна из этих частей должна представлять собою вектор, линейно-независимый с . Мы можем таким образом считать, что тот вектор у, о котором мы упоминали выше, есть вещественный вектор. Как мы доказали раньше, он должен быть ортогонален ко всем векторам при так как этим последним соответствуют значения , отличные от Таким образом выходит, что вектор у будет линейно-независимым со всей совокупностью векторов т. е. мы имеем линейно-независимых векторов, что невозможно.

Итак, для всякого корня уравнения (144) кратности уравнение (154) имеет ровно линейнонезависимых вещественных решений.

Подставив в коэффициенты системы (143) вместо некоторый корень кратноети , мы получим однородную систему, имеющую линейно-независимых решений, т. е. ранг этой системы должен равняться . Иначе говоря, эта система сведется к уравнениям. Возьмем какое-нибудь решение этой системы и умножим его на такой множитель, чтобы сумма квадратов чисел, входящих в это решение, была равна единице. Таким образом получим один вектор, соответствующий взятому корню уравнения Чтобы найти следующий вектор, добавим к уравнениям нашей системы еще одно уравнение, выражающее ортогональность нового искомого вектора к уже построенному. Таким образом для нахождения составляющих нового вектора будем иметь однородную систему из уравнений. Взяв какое-нибудь решение этой системы и нормировав его опять к единице (длина вектора равна единице), перейдем к нахождению третьего вектора, соответствующего тому же корню уравнения Для этого добавим к основным уравнениям системы еще два уравнения, выражающих ортогональность нового искомого вектора к двум, уже полученным, и т. д. — пока не построим ортонормированную систему, состоящую из векторов, соответствующих корню уравнения кратности . Из указанного построения непосредственно вытекает некоторая произвольность построения основных решений уравнения (142). Если все корни уравнения простые, то эта произвольность сводится лишь к тому, что все составляющие вектора можно помножить на Положим теперь, что уравнение (144) имеет корень кратности т. В этом случае соответствующие единичных ортогональных векторов, являющихся решением уравнения (142), образуют некоторое подпространство измерения т. Мы можем, очевидно, в этом подпространстве выбирать любым образом взаимно ортогональные единичные орты, и все они будут также решениями уравнения (142) при т. е. мы можем переходить от одной ортонормированной системы решений к другой, совершая ортогональное преобразование подпространства . Все сказанное относится и к любому другому кратному корню уравнения (144).

Для пояснения сказанного обратимся к той задаче, с которой мы начали предыдущий номер, а именно к задаче приведения уравнения поверхности второго порядка к осям симметрии. Положим для определенности, что эта поверхность есть эллипсоид. Случай разных корней уравнения (144) соответствует тому факту, что все полуоси этого эллипсоида различны. В этом случае единственный произвол в выборе окончательных осей координат сводится к изменению направления этих осей.

Если уравнение (144), которое в рассматриваемом случае будет уравнением третьей степени, имеет два одинаковых корня, то эллипсоид будет эллипсоидом вращения, и две оси симметрии могут лежать как угодно в плоскости, проходящей через центр и перпендикулярной к оси вращения, лишь бы они были взаимно ортогональны, т. е. в данном случае произвол в выборе окончательных осей состоит еще в произвольном ортогональном преобразовании в указанной выше плоскости. Наконец, если уравнение (144) имеет все три одинаковых корня, то наш эллипсоид есть сфера, и наше уравнение не содержит членов с произведениями координат. В этом случае мы вообще можем совершенно произвольно выбирать прямолинейные, прямоугольные координатные оси в пространстве.

34. Примеры. Рассмотрим два численных примера.

1. Привести к осям симметрии уравнение поверхности

Соответствующая квадратичная форма будет иметь вид:

Характеристическое уравнение ее матрицы будет

откуда, разлагая по элементам первой строки:

или

Это уравнение, как нетрудно проверить, имеет корни

и уравнение нашей поверхности, отнесенное к осям симметрии, будет

Будем теперь определять элементы ортогональной матрицы:

Мы имеем для них систему

Подставляем сначала что приводит нас к двум уравнениям

Решение этой системы имеет вид:

где произвольное число. Выбираем его так, чтобы сумма квадратов чисел, составляющих решение, была равна единице. Окончательно получаем:

причем можно взять и решение с обратным знаком.

Подставляем теперь в коэффициенты системы Получаем систему, в которой третье уравнение есть разность первых двух и, таким образом, приходим к двум уравнениям:

Нетрудно найти решение этой системы, нормированное к единице:

Подставляем, наконец, в коэффициенты системы (155) третий корень. Получаем опять систему, в которой одно из уравнений есть следствие двух других. Решая оставшиеся два уравнения и нормируя полученное решение к единице, будем иметь:

В данном случае формулы преобразования переменных имеют вид:

2. Привести к осям симметрии уравнение поверхности

В данном случае квадратичная форма запишется в виде:

характеристическое уравнение ее матрицы будет

Раскрывая этот определитель, придем к уравнению вида:

Его корни будут т. е. это уравнение имеет двойной корень.

Переходим к определению коэффициентов ортогонального преобразования, для которых имеем систему

Подставляя получим, как нетрудно вычислить, нормированное к единице решение

Подставим теперь в коэффициенты системы (155) двойной корень , для которого мы должны получить два линейно-независимых и взаимно-ортогональных решения. При указанной подстановке система сведется к одному уравнению

Возьмем нормированное к единице решение этого уравнения

Для нахождения второго решения заметим, что оно должно удовлетворять как решению (155 а), так и условию ортогональности с уже найденным решением. Таким образом, мы получаем для его нахождения два уравнения

или , откуда нормированное к единице решение будет

Окончательно ортогональное преобразование будет иметь вид:

и уравнение поверхности в осях симметрии приведется к виду