23. Понятие тензора.

Мы переходим теперь к некоторому обобщению понятия вектора, причем сначала будем рассматривать только линейные преобразования координат. Пусть в некоторой координатной системе задана таблица девяти чисел:

Составим выражение вида:

где суть составляющие двух контравариантных векторов. Совершая переход к новым координатам, мы можем в выражении (45) выразить через новые составляющие и таким образом преобразуем выражение (45) к следующему виду:

Мы будем иметь, таким образом, и в новой координатной системе таблицу девяти чисел с элементами Такая таблица, определенная в любой координатной системе из требования инвариантности выражения (45), называется ковариантным тензором второго ранга. Точно так же, взяв два ковариантных вектора с составляющими и образовав выражение

мы, задав в какой-либо координатной системе таблицу девяти чисел будем иметь из требования инвариантности выражения (47) таблицу девяти чисел и в любой другой координатной системе. Это даст нам так называемый контравариантный тензор второго ранга. Наконец, взяв один контравариантный вектор с составляющими и один ковариантный вектор с составляющими и образовав выражение

мы таким же точно путем придем к понятию смешанного тензора второго ранга.

Покажем теперь, каким образом, имея коэффициенты линейного преобразования координат (36), можно составить формулы, выражающие составляющие некоторого тензора в новых координатах через его составляющие в прежних координатах. Остановимся сначала на случае ковариантного тензор» второго ранга. Составляющие контравариантных векторов в прежней координатной системе выражаются через составляющие в новой координатной системе при помощи линейного преобразования с таблицей Обозначая элементы этой таблицы через мы будем иметь такими образом:

Подставляя в выражение (45) и определяя коэффициент при произведении мы получим выражение для составляющей тензора в новой координатной системе:

Для случая контравариантного тензора второго ранга нам совершенно так же надо будет выразить составляющие ковариантных векторов через новые составляющие. Согласно определению ковариантного вектора, выражается через при помощи таблицы и, следовательно, выражается через при помощи таблицы транспонированной по отношению к А, и аналогично т. е.:

Подставляя это в выражение (47), получим формулы преобразования для составляющих контравариантного тензора второго ранга:

Точно так же, для составляющих смешанного тензора второго ранга будем иметь следующую формулу преобразования:

Еслинмы выразим коэффициенты линейного преобразования через частные производные

и подставим эти выражения в предыдущие формулы, то будем иметь формулы преобразования тензоров второго ранга для случая любого преобразования координат.

Совершенно аналогично предыдущему можно определить понятие и о тензоре ранга выше второго, на чем мы останавливаться не будем.

В предыдущем мы все время имели дело с таблицей, выражающей линейное преобразование трехмерного пространства в некоторых координатных осях. Пусть это будет таблица В и положим, Что мы совершили афинное преобразование координат по формулам

где А есть некоторая таблица с определителем, отличным от нуля. Как было показано выше, в новых координатах наше преобразование пространства «будет иметь таблицу

Нетрудно видеть, что такое преобразование таблицы В совпадает с указанным выше преобразованием для смешанного тензора второго ранга. Действительно, применяя правила для перемножения таблиц, будем иметь следующие формулы:

и дальше отсюда

Обозначая вместо получим как раз формулы вида (51). Упомянем еще о некоторых тензорах частного вида. Положим, что в некоторой координатной системе ковариантный тензор обладает тем свойством, что

Нетрудно видеть, что он будет обладать этим же свойством и в любой другой координатной системе. Действительно, согласно (49):

или в силу (52):

етли, изменяя обозначения переменных суммирования:

откуда непосредственно видно, что действительно совпадает с Такой тензор называется симметричным ковариантным тензором. Совершенно аналогично определение симметричного контравариантного тензора. Точно так же, если в некоторой координатной системе или то то же будет иметь место и в любой другой координатной системе, и соответствующие тензоры называются кососимметрическими.

Для смешанного тензора указанное обстоятельство уже не будет иметь места, так что, например, соотношение не будет инвариантным при преобразовании координат. Мы переходим теперь к рассмотрению некоторых частных случаев тензоров.