30. Свойства скалярного произведения и нормы.
Отметим теперь некоторые свойства скалярного произведения и нормы. Применяя неравенство 
и принимая во внимание, что 
можем написать:
т. е.
Докажем теперь так называемое правило треугольника
Мы имеем:
или, принимая во внимание (128), получим:
откуда и следует (129).
В заключение настоящего номера рассмотрим, какое влияние оказывает выбор системы координат на метрику пространства, т. е. на выражение квадрата длины вектора. Положим, что вместо основной декартовой мы берем новую систему координат, причем за основные орты принимаем некоторые независимые векторы
Для любого вектора будем иметь:
где 
его составляющие в новой координатной системе.
Квадрат длины этого вектора будет выражаться скалярным произведением вектора на самого себя, т. е.
Раскрывая это, согласно вышеуказанным формулам, будем иметь следующее выражение для квадрата длины вектора:
где коэффициенты 
определяются по формулам
При перестановке значков они, очевидно, переходят в сопряженные, т. е.
Сумма вида (130) с коэффициентами, удовлетворяющими условию (131), называется обычно формой Эрмита. Непосредственно очевидно, что всякое выражение вида (130) при условии (131) будет иметь при всевозможных комплексных 
лишь вещественные значения, так как при 
два члена суммы (130) будут сопряженными, а в членах вида в силу условия (131), коэффициенты 
будут вещественными. Кроме того, по самому построению формы Эрмита 
в данном случае мы можем утверждать, что сумма (130) будет неотрицательной и будет обращаться в нуль только тогда, когда все 
равны нулю. Формула (130) и определяет метрику пространства в новой координатной системе.
Метрика (130) будет совпадать с метрикой (110) в соответствующей декартовой системе, если 
при 
или 
при 
т. е., иначе говоря, если векторы 
принятые нами за орты, будут взаимно ортогональными единичными лекторами (длины единица).
В дальнейшем всякую систему взаимно ортогональных и единичных векторов 
мы будем называть ортонормиро ванной системой.
Заметим еще, что если формула (113) определяет унитарное преобразование для составляющих вектора, то соответствующее преобразование для перехода от прежних ортов к новым будет даваться таблицей
контраградиентной U. В данном случае, в силу (123), эта таблица будет совпадать с таблицей U, а для вещественных ортогональных преобразований она будет просто совпадать с U.
