64. Общая линейная группа и группа Лоренца.

Мы установили только что тесную связь унитарной группы с двумя переменными и группы вращения трехмерного пространства. Совершенно аналогичным образом можно установить связь между общей линейной группой с двумя переменными и с определителем, равным единице, и группой Лоренца.

Введем четыре переменные , и, обращаясь к формулам (51), выражающим стереографическую проекцию, положим в них

Это дасг нам следующие формулы:

Они определяют с точностью до произвольного общего множителя, и мы можем положить:

Прежние переменные удовлетворяли соотношению , и, следовательно, в силу (67), новые переменные, определяемые по формулам (68), будут при любых комплексных значениях и удовлетворять соотношению

При унитарности преобразования с выражение оставалось неизменным, т. е., согласно (68), оставалась неизменной переменная выражающая сейчас время, и мы получали таким образом вращение трехмерного пространства. Откажемся теперь от унитарности преобразования и рассмотрим общую группу линейных преобразований

Будем поступать дальше аналогично тому, как мы поступили в случае унитарных преобразований. Составим выражения:

Для новых переменных получим новые

Подставляя выражения (70) и пользуясь (71), получим:

откуда непосредственно получаются линейные выражения с вещественными коэффициентами через которые мы выписывать не будем. Заметим только, что если сложить последние два из уравнений (72), то в выражении для коэффициент при окажется равным т. е. этот коэффициент будет положительным.

Новые переменные как и первоначальные, удовлетворяют уравнению:

Если в левой части этого уравнения заменить их выражениями через то должно получиться уравнение (69). Но левая часть уравнения (73) может при этом оказаться отличающейся от левой части уравнения (69) на постоянный множитель, т. е. мы будем иметь в данном случае:

где k — некоторая постоянная. Пользуясь предыдущими формулами и принимая во внимание, что

нетрудно показать, что Если мы хотим получить , т. е. преобразование Лоренца:

то должны брать линейные преобразования (70) с определителем по модулю, равным единице, т. е. выражающимся числом вида . Умножая, как и раньше, все коэффициенты преобразования на мы, с одной стороны, не изменим величин определяемых по формулам (68), если в них заменить на S и ибо эти формулы содержат произведение одной из величин на одну из величин и, с другой стороны, приведем определитель преобразования к единице.

Будем, таким образом, рассматривать преобразования (70) с определителем единица:

Как и в предыдущем номере, мы можем показать, что линейное преобразование, выражающее через имеет определитель Напомним, кроме того, что в нем коэффициент при в выражении положителен, т. е. это преобразование имеет определитель и не меняет направления отсчета времени, т. е. преобразования (72) суть положительные преобразования Лоренца.

Итак, окончательно, линейные преобразования при условии (75) дают положительные преобразования Лоренца, которые мы определили в [64].

Как и в предыдущем номере, поставим теперь вопрос — можно ли получить по формулам (72) любое положительное преобразование Лоренца. Отметим прежде всего, что, как и в предыдущем номере, произведению двух линейных преобразований (70) отвечает произведение соответствующих преобразований Лоренца, т. е., точнее говоря: если А и В — два линейных преобразования (70), которые приводят, согласно (72), к преобразованиям Лоренца то линейному преобразованию будет соответствовать преобразование Лоренца Как мы видели в [54], всякое положительное преобразование Лоренца может быть представлено в виде:

где U и V суть простые вращения трехмерного пространства и S — положительное преобразование Лоренца с двумя переменными. Согласно результатам предыдущего номера, мы можем получить любое вращение при помощи некоторого унитарного преобразования вида (70) с определителем единица. Таким образом, нам остается показать, что мы можем получить и любое положительное преобразование 5 Лоренца с двумя переменными по формулам (72) при соответствующем выборе линейного преобразования (70). Сравнивая (74) с (21) из [54], видим, что сейчас мы считаем так что формулы (17) из [54], дающие положительные преобразования Лоренца с двумя переменными, перепишутся в виде:

Введем величину

и рассмотрим линейное преобразование (70) частного вида:

где - вещественная постоянная. Определитель его, очевидно, равен единице. В данном случае Подставляя это в формулы (72), мы получим как раз преобразование (76), если l удовлетворяет условиям:

Это дает непосредственно Второе из условий показывает, что при надо брать корень для меньший единицы, а при -больший единицы, и при этом второе условие будет выполняться. Извлекая корень, получаем для I два значения, отличающихся лишь знаком. Мы можем, таким образом, окончательно утверждать, что группа линейных преобразований (70) с определителем единица гомоморфна группе положительных преобразований Лоренца, причем этот гомоморфизм осуществляется формулами (72). Как и в предыдущем номере, этот гомоморфизм не будет изоморфизмом, т. е. различные преобразования (70) могут приводить к одному и тому же преобразованию Лоренца. Из формул (72) непосредственно вытекает, что тождественное преобразование в группе Лоренца получается от двух линейных преобразований с матрицами

и совершенно так же, как и в предыдущем номере, можно показать, что всякое преобразование из группы Лоренца может быть получено лишь из двух линейных преобразований (70), коэффициенты которых отличаются только знаком.

Совершенно так же, как и в [63], элементы Е и образуют нормальный делитель Н группы линейных преобразований с определителем единица, и группа положительных преобразований Лоренца изоморфна дополнительной к Н группе.

Линейные преобразования (70) содержат четыре комплексных коэффициента, связанных условием (75). Таким образом, формулы (72) содержат три произвольных комплексных параметра, или, иначе говоря, шесть произвольных вещественных параметров.