§ 4. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

32. Преобразование квадратичной формы к сумме квадратов.

Рассмотрим в пространстве некоторую поверхность второго порядка, имеющую центр в начале координат

Всегда можно выбрать так новые координатные оси в преобразованном уравнении остались лишь члены, содержащие квадраты координат, т. е. так, чтобы преобразованное уравнение «мело вид:

Задача сводится к отысканию такого ортогонального преобразования, связывающего переменные , чтобы совокупность членов второго измерения относительно координат в левой части уравнения привелась к сумме квадратов. Поставим аналогичную задачу для случая вещественного пространства измерений. Пусть у нас имеется вещественная квадратичная форма от переменных:

причем - вещественные коэффициенты, удовлетворяющие условию

В предыдущем примере мы можем считать .

Назовем матрицей квадратичной формы (134) матрицу, составленную из элементов . Эта матрица будет симметрична, т. е. будет совпадать со своей транспонированной.

Положим, что мы преобразуем форму (134) к новым переменным, вводя вместо переменные причем преобразование это записано в виде:

где В есть матрица с элементами Внося выражения (136) в формулу (134), будем иметь:

Раскрывая скобки, получим коэффициент при

Пользуясь (135), легко видеть, что половина написанного выражения будет равна просто сумме:

Таким образом, разбирая аналогично и случай мы увидим, что в новых переменных квадратичная форма будет иметь вид:

где

Суммирование дает . Если в множителе будем считать t — номером столбца и i — номером строки, то будет элементом транспонированной матрицы откуда

т. е. преобразованная форма (137) будет иметь матрицу, определяемую через матрицу А формы в прежних переменных и матрицу В преобразования следующим образом:

Если преобразование (136) ортогонально, то для ортогональной матрицы В транспонированная В совпадает с обратной и мы имеем в этом случае, вместо формулы (138), формулу:

Таким образом, наша задача о построении ортогонального преобразования (136), приводящего квадратичную форму (134) к сумме квадратов, равносильна задаче построения такой ортогональной матрицы В, чтобы матрица (139) была просто диагональной матрицей ибо матрица такой формы, которая приводится к сумме квадратов, и есть диагональная матрица, причем ее элементы и суть коэффициенты при квадратах Итак, мы должны иметь, как и выше:

или

Заметим, что в данном случае матрица А не какая угодно матрица, а вещественная симметричная матрица и В должна быть ортогональной матрицей. Будем поступать совершенно так же, как это мы делали выше в [27] при рассмотрении общего случая. Перепишем уравнение (140) в виде:

Отсюда для элементов столбца матрицы В имеем уравнений. Вводя вектор с составляющими можем переписать последнее уравнение так:

Перенеся все члены (141) в одну сторону, будем иметь для определения систему однородных уравнений

Определитель этой системы должен равняться нулю, и для чисел мы получаем алгебраическое уравнение степени :

Это, как мы знаем, и есть характеристическое уравнение матрицы А.

Докажем прежде всего, что для вещественной симметричной матрицы А уравнение (144) имеет все корни вещественные. Предварительно дадим новую форму записи для квадратичной формы. Пусть вектор с составляющими вещественными или комплексными и А — матрица с любыми элементами Составим скалярное произведение:

Мы видим, что оно может быть записано в виде:

Если выполнено условие

(146)

то это есть форма Эрмита, значения которой обязательно вещественны. Тот случай, когда А есть вещественная симметричная матрица, есть частный случай условий (146). Если при этом еще составляющие вектора вещественны, то формула (145) и дает нам квадратичную форму (134).

Перейдем теперь к доказательству вещественности корней уравнения (144). Пусть некоторый корень этого уравнения. Система (143) дает нам при этом составляющие вектора (вещественного или комплексного), удовлетворяющего уравнению (142). Умножим обе части этого уравнения справа скалярно на Мы получим:

Выражение, стоящее справа, как мы видели, есть число вещественное, и, следовательно, есть также число вещественное. Мы доказали таким образом вещественность корней уравнения (144) не только для вещественных симметричных матриц, но и для матриц, элементы которых удовлетворяют условию (146). Такие матрицы называются обычно эрмитовскими матрицами.

В рассматриваемом случае коэффициенты системы (143) суть вещественные числа, и мы можем считать, что и составляющие — вещественны. Покажем теперь, что если два различных корня уравнения (144), то соответствующие векторы удовлетворяющие уравнению взаимно ортогональны. Мы имеем по условию:

Умножая первое из этих уравнений скалярно на а второе и вычитая, получим:

Покажем теперь, что для любых двух векторов и у (вещественных и комплексных) имеет место формула

Если только элементы матрицы А удовлетворяют условиям (146). Действительно, левая часть формулы (148) дает:

Если, в силу (146):

Такой же результат даст нам и правая часть формулы (148). Эта формула справедлива, таким образом, и для вещественных симметричных матриц, которые являются частным случаем эрмитовских. В силу (148) левая часть (147) равна нулю, и в силу мы ммеем т. е. векторы действительно ортогональны. В данном случае это вещественные векторы, и условие их ортогональности сводится к тому, что сумма произведений их составляющих равна нулю.

Если уравнение (144) имеет различные корни, то мы будем иметь, таким образом, взаимно ортогональных вещественных векторов Уравнение (142) линейное, однородное относительно и мы можем умножить решение этого уравнения на любую постоянную, так можно считать, что упомянутые выше векторы имеют длину, равную единице.

Составляющие этих векторов образуют столбцы матрицы В. Иначе товоря, эта матрица удовлетворяет условию ортонормированности по столбцам и является ортогональной матрицей. Таким образом наша задача приведения квадратичной формы ортогональным преобразованием к сумме квадратов или — что то же — приведения матрицы А к диагональной форме окончена в предположении, что уравнение (144) «имеет различные корни. Числа называют иногда собственными значениями матрицы А, а векторы собственными векторами этой матрицы.