88. Построение группы по структурным постоянным.

В настоящем номере мы в общих чертах коснемся вопроса о построении групповой операции и группы линейных преобразований по заданным структурным постоянным которые удовлетворяют соотношениям и . Это построение основано на одной теореме из теории уравнений с частными производными, о которой мы упоминали выше. Сформулируем сейчас эту теорему.

Пусть имеется следующая система дифференциальных уравнений с частными производными:

Напишем, пользуясь этой системой, условие того, что

Оно имеет, очевидно, вид:

или, заменяя и правой частью системы (244), получим:

Это равенство является соотношением между переменными .

Теорема. Если функции в окрестности значений при этих значениях) непрерывны и имеют непрерывные частные производные, которые входят в соотношения (245), и все эти последние соотношения выполняются тождественно относительно то система (244) при начальных условиях

имеет решение и притом единственное.

Тождественное выполнение всех соотношений (245) при наличии указанных условий непрерывности называется обычно условием полной интегрируемости системы (244). Опишем теперь схему построений групповой операции и группы линейных преобразований по заданным структурным постоянным.

Итак, пусть заданы постоянные где , причем эти постоянные удовлетворяют соотношениям (194 и (1942).

Если решить систему (241) относительно частных производных, то можно проверить, что упомянутые соотношения являются условиями полной интегрируемости системы (241). Таким образом, существует единственная матрица с элементами , которая обращается в единичную матрицу при т. е. при , и удовлетворяет системе (241). Имея мы можем построить и обратную матрицу Для построения групповой операции обращаемся к системе (238). Правые части этих уравнений — известные функции и . Можно проверить, что система (241) выражает условия полной интегрируемости системы (238). Следовательно, существует единственное решение системы (238), которое удовлетворяет начальным условиям

Построенное решение и дает групповую операцию. Начальные условия выражают тот факт, что элемент определяемый формулой (230), обращается в при . Переходим теперь к построению группы линейных преобразований, т. е. группы матриц заданного порядка по структурным постоянным, причем, как указано выше, мы имеем уже матрицу . Как мы показали в [83], условия полной интегрируемости (204) или системы (205) сводятся к тождественному равенству нулю квадратной скобки уравнения (207) при любом выборе значков, а эти последние условия выполнены, как мы показали в [87], если матрицы удовлетворяют соотношениям (208). Таким образом, решение задачи должно начинаться с построения матриц заданного порядка, удовлетворяющих соотношениям (208). Это сложная алгебраическая задача. Имея матрицы мы можем уже утверждать, что система (205) имеет единственное решение, удовлетворяющее начальным условиям (206). Это решение и дает группу матриц с заданными структурными постоянными

Можно показать, что интегрирование системы (241) при начальных условиях сводится к интегрированию системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Сформулируем соответствующий результат. Построим систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

где при считаются заданными постоянными. При этом функции удовлетворяют системе (244) и начальному условию . Подробное рассмотрение вопроса о построении непрерывной группы по заданным структурным постоянным так же, как и исследование других вопросов теории непрерывных групп, можно найти в книге Л. С. Понтрягина „Непрерывные группы".