50. Связь между пространствами l2 и L2.

Пусть, как и выше,

некоторая полная оргонормированная в система. При любому элементу из соответствует бесконечная последовательность его коэффициентов Фурье, сумма квадратов модулей которых сходится, и наоборот, любой бесконечной последовательности комплексных чисел сумма квадратов модулей которых сходится, соответствует определенный элемент , для которого суть коэффициенты Фурье относительно системы (281) [II, 163]. Таким образом, система приводит в биоднозначное соответствие элементы и элементы всякому элементу соответствует определенный элемент и наоборот [II, 163]. При сохраняются сложение, умножение на число, скалярное произведение (в силу ) и норма. Если последовательность элементов сходится к элементу , т. е. при то то же будет иметь место и для соответствующих элементов что следует из равенства норм:

где составляющие элементов соответствующих

При установлении соответствия между пространствами мы исходили из определенной полной ортонормированной системы (281). Если взять другую такую же систему

то, конечно, закон соответствия будет уже иным. Всякая функция системы (282) разлагается в ряд Фурье по

причем ряд, стоящий справа, сходится в . Принимая во внимание обобщенное уравнение замкнутости, получим

т. е. матрица U с элементами ортонормирована по строкам.

Принимая во внимание, что

и полноту системы (281), получаем

откуда следует, что таблица U есть таблица унитарного преобразования. Нетрудно показать, что и наоборот, всякая таблица унитарного преобразования U приводит согласно (283) к полной ортонормированной системе (282), если такою же была система (281). Приведем в качестве примера для пространства функций одной независимой переменной на отрезке систему функций [II, 174]:

Нетрудно доказать, что это — ортонормированная система. Отметим, что нумерация по k производится здесь не от 1 до а от до Такое изменение нумерации несущественно. Пользуясь результатами можно показать, что система (284) — полная.