74. Прямое произведение групп и его линейные представления.

Понятие о прямом произведении матриц играет роль и в другом вопросе, к которому мы сейчас и переходим. Пусть имеются две группы G и , элементы которых обозначим через причем значки пробегают, независимо один от другого, вообще говоря, различные совокупности значений. Определим новую группу F, элементы которой определяются как пары элементов из и :

причем первый элемент пары есть элемент G, а второй — элемент Я. Назовем единичным элементом этой группы элемент в том случае, когда суть единичные элементы из G и , и аналогичным образом определим обратные элементы из группы F. Закон умножения для группы F определим естественно формулой:

Нетрудно проверить, что совокупность элементов действительно образует группу. Эту группу F назовем прямым произведением групп G и . Пусть имеется некоторое линейное представление группы G, осуществляемое матрицами и некоторое линейное представление группы Я, осуществляемое матрицами Пользуясь формулой (123), как и в предыдущем номере, можно показать, что прямые произведения

дают линейное представление группы F. Кроме того, если представления и Вунитарны, то и представление будет унитарным [72].

Покажем теперь, что если представления и В неприводимы, то w представление О» группы F будет неприводимым. Пусть — порядок матриц и — порядок матриц Матрицы будут иметь порядок Пусть существует некоторая матрица X порядка которая коммутирует со всеми матрицами . Обозначим элементы матриц соответствующими малыми буквами. Мы имеем, следовательно, для любых значков и а также для любых .

где

Если мы положим, что есть единичный элемент группы G, то будет единичной матрицей, т. е. при и формула (135) даст:

и точно так же, полагая, что есть единичный элемент группы получим:

Если мы возьмем элементов и закрепим значки то получится элементов

которые дадут некоторую матрицу порядка т. Обозначим эту матрицу через Точно так же, закрепляя в значки j и получим матрицу порядка . В силу (136) все матрицы коммутируют со всеми матрицами образующими неприводимое представление группы и, следовательно, все матрицы кратны единичной матрице, т. е. элементы при фиксированных имеют одинаковое значение, если и, кроме того, если Мы можем записать это следующим образом

Точно так же из рассмотрения матриц будет следовать:

где, как всегда,

Из сравнения и вытекает, что отлично от нуля только в том случае, если причем в этом последнем случае все числа одинаковы между собой, т. е. матрица коммутирующая со всеми матрицами будет обязательно кратной единичной матрице. Отсюда и вытекает непосредственно, что линейное представление группы определяемое прямым произведением будет неприводимым. Можно показать, что таким образом получаются все неприводимые представления группы

Положим, что Q и Н суть группы линейных преобразований с одним и тем же числом переменных, и предположим, что любые две матрицы попарно коммутируют, т. е.

В предыдущих рассуждениях мы считали, что элемент группы F определяется парой элементов и построили определенный закон перемножения внутри группы который описан нами выше. В данном случае мы можем считать элементом группы F просто произведение матриц (139), которое не зависит от порядка.

Эта новая группа F изоморфна прежней F. Если единичные матрицы, то и произведение будет единичной матрицей. Матрица будет, очевидно, обратной произведению и мы имеем в силу (139) следующий закон умножения:

т. е. все упомянутые выше при образовании группы F свойства в данном случае выполнены, так что произведения (139) можно считать переменным элементом группы F. В качестве частного случая возьмем тот случай, когда G есть группа вращения трехмерного пространства и Н—группа второго порядка, состоящая из тождественного преобразования I и симметрии S относительно начала [57]. В данном случае условия (139) выполняются. Если есть любое вращение пространства, то очевидно Группа F в данном случае будет группой всех вещественных ортогональных преобразований трехмерного пространства. Для группы Н мы имели два линейных представления первого порядка: одно тождественное, состоящее из чисел и другое антисимметрическое, при котором матрице I соответствует и матрице S соответствует Если мы возьмем теперь некоторое линейное представление группы вращения, то можем брать прямое произведение матриц этого представления с обоими представлениями группы симметрии относительно начала. В одном случае мы получим линейное представление полной группы ортогональных преобразований, при котором всякому вращению с углами Эйлера взятому в чистом виде или соединенному с симметрией относительно начала, соответствует одна и та же матрица Обозначим это представление группы ортогональных преобразований через . В другом случае чистому вращению будет соответствовать матрица а вращению, соединенному с симметрией, матрица Такое представление группы ортогональных преобразований обозначим через

Разберем еще один пример прямого произведения двух групп. Пусть у нас имеются две точки: Положим, что группа G есть группа вращения трехмерного пространства. Наши переменные испьпывают при этом линейные преобразования:

Где таблица есть матрица некоторого вращения. Положим дальше, что группа Н есть группа, состоящая из тождественного преобразования и из преобразования, которому соответствует перестановка номеров 1 и 2 у наших точек.

Это последнее преобразование будет иметь вид:

Мы имеем, очевидно, и следовательно, эта последняя группа Н будет состоять из двух преобразований: и S. Если есть некоторое вращение, очевидно, так как безразлично — производить ли нумерацию точек до или после вращения. В данном случае мы получим те же линейные представления для общей группы F, что и выше. Если бы мы вместо двух взялл точек, то группа состоящая из перемен нумерации этих точек, имела бы своими элементами линейные преобразования с переменными, а эта группа Н была бы изоморфна группе перестановок из элементов. В данном случае точно так же операция вращения и операция перестановки номеров точек будут коммутировать друг с другом, и, взяв прямое произведение матрицы линейного представления группы вращения и матриц некоторого линейного представления группы перестановок, мы получим линейное представление общей группы F.