29. Неравенство Коши — Буняковского.

Установим в настоящем параграфе одно неравенство, которым нам придется пользоваться в дальнейшем. Оно состоит в следующем: каковы бы были вещественные числа имеем:

причем знак равенства будет иметь место тогда и только тогда, когда и пропорциональны:

Пусть любое вещественное число. Составим сумму:

которая, очевидно, неотрицательна. Знак равенства будет иметь место тогда и только тогда, когда

и в этом случае, очевидно:

Вообще же говоря, раскрывая в выражении «S скобки, получим трехчлен второй степени

где

Написанный трехчлен при всех вещественных остается неотрицательна откуда следует: , т. е. что и приводит к неравенству (126).

Если то трехчлен при некотором вещественном 1 должен обращаться в нуль, а при этом, как мы видели, должно выполняться условие (127). Наоборот, при выполнении этого условия в формуле (126) имеет место знак равенства. Положим теперь, что — комплексные числа. Принимая во внимание, что

получим, применяя к последней сумме, состоящей из положительных слагаемых, неравенство (126):

Нетрудно показать, что в данном случае, при комплексных и энак равенства будет иметь место тогда и только тогда, когда пропорциональны и все произведения имеют одинаковый аргумент. Неравенство (126) применимо не только к суммам, но и к интегралам, как мы об этом уже упоминали раньше [11,161]. Если две вещественные функции в промежутке то неравенство для интегралов имеет вид:

Действительно, составим выражение

где t — любое вещественное число. Из вида левой части следует, что это выражение ни при каких вещественных I не может быть отрицательным. Но если трехчлен при всех вещественных Е не отрицателен, то, как известно из элементарной алгебры, .

В применении к предыдущему трехчлену это и дает неравенство (126 а). Это неравенство для интегралов впервые доказано В. Л. Буняковским. Для сумм оно встречалось у Коши.