25. Случай n-мерного комплексного пространства.

Обратимся сейчас к общему случаю -мерного пространства. Вектором в таком пространстве мы раньше уже назвали последовательность чисел, вещественных или комплексных [12]:

причем эти числа называются составляющими вектора Мы считаем при этом, что пространство отнесено к определенным ортам:

так что

Условие равенства векторов и простейшие действия над ними были определены в [12].

Линейным преобразованием -мерного пространства назовем переход от вектора к вектору по формулам:

или иначе

где А есть таблица или матрица преобразования. Если ее определитель отличен от нуля, то преобразование (62) называется неособьш преобразованием, а матрица А — неособой матрицей (таблицей). В этом случае, решая уравнение (61) относительно получим преобразование, обратное (61) или (62):

где таблица имеет элементы

причем через мы обозначаем определитель таблицы А и через алгебраические дополнения его относительно элементов

Дальше, аналогично предыдущему [21], определяется произведение двух преобразований, а именно последовательное применение двух преобразований

равносильно одному линейному преобразованию

которое называется произведением преобразований А и В и таблица которого определяется по формуле:

Это произведение зависит, вообще говоря, от порядка сомножителей, т. е., кроме исключительных случаев, мы имеем

Нетрудно распространить определение произведения на случай любого числа сомножителей, причем имеет место сочетательный закон, т. е. сомножители можно соединять в группы:

Обратное преобразование удовлетворяет соотношениям

где символом 1 мы обозначили так называемую единичную матрицу, у которой элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, а остальные элементы — нулю. Этой матрице соответствует тождественное преобразование .

Так же, как и выше, определим диагональную матрицу порядка :

Ей соответствует преобразование: Произведение диагональных матриц не зависит от порядка сомножителей и определяется по формуле

В частном случае мы получим матрицу

которой будет соответствовать умножение всех составляющих вектора на число k. В соответствии со сказанным в начале настоящего параграфа мы будем считать, что матрица (69) является просто числом т. е. будем считать число k частным случаем матрицы. Нетрудно видеть, пользуясь формулой (65), что произведение числа трактуемого как матрица (69), на любую матрицу А не зависит от порядка сомножителей и сводится к умножению всех элементов матрицы А на число

Положим теперь, что мы взяли за основные орты не векторы а новые векторы которые выражаются через по формулам:

причем определитель, составленный из элементов не равен нулю. При этом векторы наоборот, выражаются линейно через векторы и всякая линейная комбинация векторов есть в то же самое время линейная комбинация векторов b и наоборот. Иначе говоря, векторы как орты, образуют то же пространство, что и векторы Если некоторый вектор в системе координат, определяемой ортами имеет составляющие то в системе координат, определяемой ортами он будет иметь другие составляющие которые выражаются через прежние при помощи линейного преобразования, контраградиентного преобразованию (71), что можно записать так:

где таблица есть транспонированная таблица по отношению к таблице Т, соответствующей преобразованию (71).

Если мы имели некоторое преобразование пространства, которое в первоначальной координатной системе выражалось формулой (62), то в новой координатной системе это же преобразование будет выражаться формулой

где

Матрица

называется подобной матрице А.

Основными понятиями в предыдущем изложении являлись понятия вектора и матрицы. Заметим, что иногда рассматривают вектор тоже как матрицу, один из столбцов которой, безразлично какой, заполнен числами , а остальные элементы матрицы равны нулю. Положим, например, что мы ставим составляющие вектора в первый столбец. Таким образом мы будем иметь представление нашего вектора в виде матрицы:

Иногда такую матрицу, у которой только один столбец содержит элементы, отличные от нуля, обозначают «имволом

Покажем теперь, что линейное преобразование (62) может быть записано в виде произведения матрицы (74) на матрицу преобразования А Действительно, перемножая матрицу (74) на матрицу А по правилу (65) и принимая во внимание, что у матрицы (74) только элементы первого столбца отличны от нуля, мы получим произведение в виде матрицы, у которой тоже только элементы первого столбца будут отличными от нуля, и эти элементы, как нетрудно видеть, будут

т. е. они дают как раз линейное преобразование (62). Мы можем таким образом записать это преобразование в виде:

где справа стоит произведение двух матриц.

В заключение настоящего номера отметим еще раз общие законы, которым подчиняются действия с векторами в -мерном пространстве

Если х и у — какие-нибудь два вектора, то вектор с составляющими является единственным вектором, удовлетворяющим условию

Пусть а и b — какие-нибудь числа. Мы имеем:

Для числа единица мы имеем где нуль, стоящий справа, обозначает вектор, у которого все составляющие равны нулю.