§ 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП

65. Представление группы линейными преобразованиями.

Пусть -некоторая группа с элементами и положим, что каждому элементу соответствует определенная матрица причем все матрицы имеют один и тот же порядок и их определители отличны от нуля. Положим далее, что это соответствие таково, что всякому произведению соответствует матрица которая является произведением . В этом случае говорят, что матрицы или соответствующие им линейкые преобразования дают линейное представление группы Q. Пусть единичный элемент группы и соответствующая матрица. Поскольку мы должны иметь откуда, умножая справа на имеем т. е. единичному элементу должна соответствовать единичная матрица. Пусть обратные элементы и и соответствующие матрицы. Из равенства следует т. е. обратным элементам соответствуют и обратные матрицы. Из предыдущего непосредственно следует, что матрицы (или соответствующие линейные преобразования) образуют группу А, гомоморфную группе G. Если различным элементам G соответствуют и различные матрицы, то А будет не только гомоморфна, но и изоморфна G. В этом случае говорят, что она дает биоднозначное линейное представление группы Q.

Если это не так, то совокупность элементов G, которым соответствует единичная матрица в , образует нормальный делитель группы G, и группа А будет изоморфна дополнительной к этому нормальному делителю группе [57].

Если основная группа G сама есть группа линейных преобразований, то, очевидно, она сама и дает одно из возможных своих линейных представлений.

Сделаем одно замечание по поводу данного определения линейного представления.

Пусть нам известно, что всякому элементу соответствует определенная матрица причем произведению элементов соответствует произведение матриц, но неизвестно, будут ли определители матриц отличны от нуля. Покажем, что если один определитель равен нулю, то и все равны нулю. Действительно, совокупность матриц при переменном а содержит все матрицы, соответствующие элементам группы [56]. Но и произведение равно нулю, так как первый множитель по условию равен нулю. Таким образом, имея закон соответствия, при котором произведению соответствует произведение, нам достаточно проверить, что один из определителей отличен от нуля; например, достаточно проверить, что единичному элементу из G соответствует единичная матрица из А.

Пусть - некоторая матрица того же порядка, что и матрицы с определителем, отличным от нуля. Мы имеем:

и, следовательно, матрицы также дают линейное представление нашей группы G. Такие два подобных представления называются обычно эквивалентными представлениями. Положим, что порядок матриц равен и что суть составляющие вектора в -мерном пространстве, над которым совершаются преобразования так что группа А будет

Эквивалентное линейное представление

как мы знаем [25], имеет тот смысл, что в упомянутом пространстве вводятся новые оси, причем новые составляющие выражаются через прежние по формулам

При этих новых осях линейные преобразования пространства будут уже выражаться по формулам (78), т. е. эквивалентные линейные представления могут быть получены в результате простой замены координатных осей согласно формулам (79). Назовем переменные входящие в формулы (77), объектами линейного представления. Переход к эквивалентному линейному представлению равносилен, таким образом, замене объектов линейных представлений другими при помощи некоторого линейного преобразования (79) с определителем, отличным от нуля.

Пусть имеется линейное представление группы Q при помощи матриц порядка и другое линейное представление той же группы при помощи матриц порядка . Составим квазидиагональные матрицы порядка

Согласно правилу перемножения квазидиагональных матриц, мы имеем:

Таким образом, матрицы (80) также дают некоторое линейное представление группы G.

Вообще, имея несколько представлений группы G при помощи матриц мы можем составить и новое представление, пользуясь квазидиагональной матрицей

Заметим теперь, что если мы перейдем к эквивалентному представлению при помощи матриц то квазидиагональный характер матриц, вообще говоря, нарушится, и по виду этого нового представления нельзя уже будет сразу сказать, что оно с точностью до эквивалентного представления составлено из других представлений с меньшим числом измерений по закону (81). Если наше линейное представление имеет чисто квазидиагональный вид (80), то оно распадается на несколько линейных представлений с меньшим числом измерений, т. е. с матрицами меньшего порядка. В этом случае линейное представление называется приведенным. Если некоторое линейное представление не имеет квазидиагонального вида, но некоторое эквивалентное ему представление имеет такой вид, то представление называется приводимым. Наконец, если не только само представление, но и все эквивалентные ему представления не имеют квазидиагонального вида, т. е. не являются приведенными, то такое представление называется неприводимым представлением.

Отметим некоторые условия, при наличии которых можно утверждать, что представление будет приводимым. Пусть линейное представление состоит из матриц порядка , которые дают линейные преобразования с переменными . Предположим, что все матрицы унитарные и что подпространство образованное первыми k ортами, переходит само в себя в результате преобразования т. е. если то и Иначе говоря, все матрицы имеют вид:

где А — некоторая матрица порядка некоторая матрица порядка , и в левом нижнем углу, имеющем строк и k столбцов, стоят везде нули. Рассмотрим пространство образованное последними ортами. Оно будет состоять из векторов, ортогональных ко всем векторам подпространства указанного выше. Так как каждое преобразование переводит подпространство R в себя и в силу унитарности сохраняет свойство ортогональности векторов, то всякий вектор подпространства R должен в результате преобразования перейти в вектор, также принадлежащий этому подпространаву. Иначе говоря, если , то и

Отсюда непосредственно следует, что в матрицах (82) и все элементы, стоящие в правом верхнем углу, имеющем k строк и столбцов, также должны быть все равны нулю, т. е. матрицы рассматриваемого линейного представления

и, следовательно, представление будет приведенное. Положим теперь, что все унитарные преобразования оставляют вообще инвариантным некоторое подпространство измерения , где — порядок матриц Преобразуем координатные оси так, чтобы подпространство было образовано первыми k ортами, что равносильно переходу к эквивалентному линейному представлению и может быть осуществлено при помощи унитарного преобразования. После такого преобразования в силу предыдущего представление окажется приведенным. Мы имеем, таким образом, следующую теорему:

Теорема Если линейное представление группы состоит из унитарных матриц, и эти матрицы оставляют неизменным некоторое подпространство, то такое представление есть приводимое представление.

Вопрос о приводимости или неприводимости представления тесно связан с вопросом о переходе от матриц к подобным матрицам Отметим некоторые частные случаи перехода к эквивалентным представлениям, которые получаются при специальном выборе матрицы X. Построим матрицу X, у которой в первой строке на втором месте стоит единица, а на других местах нули; во второй строке стоит на первом месте единица, а на остальных местах нули, и, начиная с третьей строки, стоят на главной диагонали единицы, а на остальных местах нули, т. е.

Непосредственно разлаггя, начиная с последней строки, увидим, что . Применяя обычные правила умножения матриц, нетрудно проверить, что если Y есть некоторая матрица, то подобная матрица будет получаться из Y взаимной перестановкой первой и второй строки а также первого и второго столбца. Точно так же всякая перестановка строк, сопровождаемая такой же перестановкой столбцов, равносильна переходу к некоторой подобной матрице с помощью преобразования X, которое не зависит, очевидно, от матрицы Y.

Таким образом, если мы во всех матрицах дающих некоторое линейное представление группы, совершим одну и ту же перестановку строк и столбцов, то это будет равносильно переходу к эквивалентному представлению.

Если можно распределить целые числа на два класса так, что на пересечении любой строки каждой матрицы с номером из одного класса с любым столбцом с номером из другого класса стоит нуль, то такое представление будет приводимым. Действительно, чтобы совершить его приведение, т. е. сделать его приведенным, достаточно переставить строки и столбцы так, чтобы строки и столбцы одного класса стояли сплошь сверху и слева, а строки и столбцы другого класса — снизу и справа.

В заключение настоящего номера отметим еще тот случай, когда линейное представление группы О будет первого порядка, т. е. когда все матрицы будут матрицами первого порядка, иначе говоря, обыкновенными числами. В этом случае каждому элементу нашей группы соответствует преобразование или, проще говоря, число и произведению соответствует обычное произведение чисел