15. Случай неоднородной системы.

Рассмотрим неоднородную систему:

аппхп

Ее можно толковать как задачу нахождения вектора при заданных векторах (26) из системы

Если определитель системы отличен от нуля, то теорема Крамера дает один определенный ответ. Положим, что определитель системы равен нулю и ранг таблицы ее коэффициентов равен k, причем определитель порядка отличный от нуля, стоит, как всегда, в левом верхнем углу. Наряду с системой (30) напишем систему однородных уравнений, коэффициенты которых получаются из коэффициентов данной системы заменой строк столбцами и всех чисел — сопряженными. Эта новая система будет, таким образом, иметь вид:

Таблица ее коэффициентов по-прежнему имеет ранг и определитель порядка, стоящий в левом верхнем углу, по-прежнему отличен от нуля. Назовем эту однородную систему союзной с системой (30). Как мы видели выше, ее общее решение есть линейная комбинация решений (векторов), которые можно получить, например, если решить по теореме Крамера первые k уравнений относительно полагая остальные равными нулю, кроме одного, которое надо считать равным единице. Мы придем таким путем при к системе:

Решая эту систему и переходя к сопряженным величинам, получим:

где

и получается из заменой элементов столбца на Составим условие перпендикулярности вектора b с составляющими с вектором полученным только что при решении системы (32)

или

Заменяя в определителе строки столбцами и переставляя затем строку на последнее место при помощи перестановок последних строк, получим:

Это есть как раз алгебраическое дополнение элемента в характеристическом определителе:

и условие (34) выражает как раз равенство нулю этого характеристического определителя. Аналогичным образом при мы получим условие Приходим, таким образом, к следующему результату: если определитель системы (30) равен нулю, то для существования решения этой системы необходимо и достаточног чтобы вектор был ортогонален ко всем векторамг дающим решение однородной союзной системы (32).

Общее решение системы (30) будет суммой какого-нибудь частного решения этой системы и общего решения соответствующей однородной системы, которая получается из (30) заменой всех нулями. Это общее решение однородной системы будет содержать произвольных постоянных.

Укажем еще одну, важную в дальнейшем, геометрическую интерпретацию основной теоремы о решении систем. Пусть имеется линейных форм с независимыми переменными:

Будем считать, что могут принимать любые комплексные значения, пусть составляющие некоторого вектора. Если определитель отличен от нуля, то при любых значениях мы получаем определенные значения и предыдущие формулы дают всё -мерное пространство у. Положим теперь, что таблица имеет ранг Не ограничивая общности, можем считать, что определитель порядка, стоящий в левом верхнем углу, отличен от нуля. При этом основная теорема о решении систем дает нам следующее: совокупность значений получаемых по предыдущим формулам, обладает тем свойством, что значенияуь могут быть произвольными, но если фиксировать эти значения, то значения получаются вполне определенными, а именно эти последние значения получаются из условия равенства нулю характеристических определителей. На языке геометрии это значит, что предыдущие формулы дают подпространство измерения , которое образовано теми векторами, которые получатся, если положить одно из равным единице, а остальные — нулю. Итак, если ранг таблицы равен предыдущие формулы дают совокупность значений определяющих некоторое подпространство измерения .

Мы рассмотрели тот случай, когда число линейных форм равно числу переменных Можно взять общий случай

В этом случае эти формулы при произвольных определяют в пространстве измерений подпространство, число измерений которого равно рангу таблицы Доказательство не отличается вовсе от предыдущего.