17. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Применим полученные результаты к задаче интегрирования систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Напишем такую систему в виде:

где искомые функции от их производные и заданные постоянные. Будем искать решение в виде:

Подставляя в систему (46) и сокращая на множитель будем имегь для определения постоянных систему уравнений

Так как для неизвестных мы должны получить решение, отличное от нулевого, определитель написанной системы должен равняться нулю, т. е. для постоянной мы получаем уравнение вида:

Уравнение такого вида называется обычно вековым уравнением. Оно хорошо известно при рассмотрении колебаний механических систем без сопротивления в частном случае, когда таблица коэффициентов симметрична, т. е. когда и все коэффициенты вещественны, о чем мы будем говорить дальше при рассмотрении малых колебаний.

Сейчас мы займемся исследованием системы в общем случае. Уравнение (49) есть алгебраическое уравнение степени со старшим членом . Если это уравнение имеет различных корней

то, подставляя каждый из них в коэффициенты системы (48), мы будем иметь однородных уравнений для соответствующих неизвестных с определителем, равным нулю, и сможем получить для этих неизвестных решение, отличное от нулевого. Таким образом, по формулам (47) мы получим линейно-независимых решений нашей системы (46), и их линейная комбинация даст общий интеграл системы. Если же вековое уравнение (49) имеет крдтныз корни, решение задачи будет более сложным, а именно — каждому корню уравнения (49) кратности k должны соответствовать k линейно-независимых решений системы (46), причем одно из этих решений будет наверно иметь вид (47), а остальные будут, вообще говоря, содержать еще множителем полином от t. Но в данном случае в отличие от одного уравнения с постоянными коэффициентами [II, 39] может случиться, что не одно, а несколько решений (или даже все), соответствующих упомянутому кратному корню, будут иметь вид (47). Мы не будем более подробно останавливаться на исследовании этого обстоятельства, так как в дальнейшем, пользуясь теорией функций комплексного переменного, применим для решения системы (46) другой метод.

Вернемся к рассмотрению векового уравнения (49), которое играет основную роль в нашей задаче. Решение этого уравнения, хотя бы и приближенное, представляет при больших практические трудности, вызванные тем обстоятельством, что искомое неизвестное X стоит не в каком-нибудь одном столбце или строке, а входит в диагональные члены. Разложение левой части этою равнения по степеням X требует больших вычислений, которые нами указаны выше в [4]. Укажем прием преобразования уравнения (49) к практически более удобному виду, при котором неизвестное X попадает в один столбец. Прием этот принадлежит акад. А. Н. Крылову и изложен им в работе численном решении уравнения, которым в технических вопросах определяются частоты малых колебаний материальных систем (Известия Академии наук СССР, 1931 г.).

Составим линейную комбинацию искомых величин

где взятые каким-нибудь образом численные коэффициенты. Будем дифференцировать уравнение (50) раз по заменяя каждый раз в правой части производные их выражениями из системы (46). Мы получим таким образом уравнений вида:

Положим, что определитель, составленный из коэффициентов входящих в первые уравнений, отличен от нуля. При этом первые уравнений дадут нам выражение через и, подставляя их в последнее уравнение, будем иметь уравнение порядка для . Можно непосредственно произвести это исключение лгуиз уравнений (51) при помощи определителей. Действительно, перепишем эти уравнения следующим образом:

где и будем рассматривать эти уравнений как однородные уравнения относительно величин

Определитель написанной системы должен равняться нулю, что и дает нам искомый результат исключения

Будем искать решение этого уравнения в виде:

Подставляя это в первый столбец определителя (52) и вынося из первого столбца за знак определителя множитель мы придем, сокращая на этот множитель, к следующему уравнению для определения X:

Нетрудно показать, что при нашем предположении уравнение (53) имеет те же корни, что и уравнение (49). Действительно, пусть есть некоторый корень уравнения (53). Мы имеем при этом для (52) решение вида:

где С — произвольная постоянная. При этом первые уравнений системы (51) дадут нам и для решения вида (47) при будет и корнем уравнения (49). Наоборот, если есть корень уравнения (49), то мы имеем для решение вида (47) при где численные постоянные, среди которых есть отличные от нуля. Подставляя эти выражения первое из уравнений системы (51), мы получим и для решение вида (54), причем это решение будет наверно отлично от нуля. Действительно, в противном случае мы имели бы откуда, в силу первых уравнений системы (51) непосредственно следовало бы

Таким образом, действительно всякий корень уравнения (49) будет и корнем уравнения (53). Итак, при нашем предположении уравнение (53) имеет те же корни, что и уравнение (49).

Применение этого метода к численным примерам, а также рассмотрение случая, когда наше предположение не имеет места, можно найти в вышеупомянутой статье акад. А. Н. Крылова.

Наиболее простые вычисления получатся, если формулу (50) взять в виде . В этом случае уравнение (53) будет иметь вид:

Вместо системы (46) рассмотрим систему уравнений второго порядка вида:

Такие системы час встречаются в механике. Если искать их решение в виде

то получим для X уравнение вида:

Постоянные определятся из системы, аналогичной системе (48), и останется произвольным.

Наконец, для систем вида:

содержащих и первые производные, отыскивая опять решения в форме (47), мы приходим к вековому уравнению вида:

Вводя добавочные неизвестные

мы приведем систему (57) к уравнениям первого порядка, из которых уравнений получатся из (57) заменой

а остальные суть уравнения (59).