63. Унитарная группа и группа движения.

Рассмотрим теперь некоторое унитарное преобразование над переменными

причем в силу унитарности должно быть:

Новые значения переменных дадут нам и новую точку на сфере

Определитель унитарного преобразования (52), равный, как известно, по модулю единице, будет выражаться некоторым числом вида Умножая все коэффициенты преобразования (52) на , получим унитарное преобразование с определителем единица. Но при этом V и умножатся также на . Этот дополнительный множитель совершенно не повлияет на величину С. Мы можем, таким образом, ограничиться рассмотрением унитарных преобразований (52) при условии, что определитель преобразования равен единице, т. е.

Даже при этом ограничительном условии два преобразования, коэффициенты которых отличаются знаком, дадут нам значения и отличающиеся знаком, и мы придем при обоих этих преобразованиях к одной и той же точке

Если мы подставим в формулы (54) вместо и их выражения (52) и примем во внимание условие (53), то увидим, пользуясь (51), что переменные выразятся в виде линейных однородных полиномов через (x, у, z). В силу (53) знаменатель в выражениях (51) и (54) оказывается одинаковым, и переменные (х, у, z) испытывают то же самое линейное преобразование, какое испытывают выражения:

при унитарном преобразовании (52). Дальше мы установим точно вид этого линейного преобразования.

Установим прежде всего общий вид унитарных преобразований (52) с определителем единица. Обычные условия унитарности дают нам [28]:

Умножая условие (55) на С и пользуясь первым из написанных условий, получим:

откуда в силу второго условия будем иметь или , и совершенно аналогично можно показать, что Мы можем, таким образом, написать все унитарные преобразования с определителем, равным единице, в следующем виде:

где а и b — любые комплексные числа, удовлетворяющие условию

Составим теперь выражения (56) с новыми переменными

или, пользуясь (57):

Производя замену

и складывая и вычитая первые два уравнения, получим выражения через или, что то же, выражения через

Всякому унитарному преобразованию (57) соответствует некоторое преобразование плоскости XV, а это, в свою очередь, в силу соответствия, устанавливаемого стереографической проекцией, дает некоторое преобразование сферы.

В соответствии с этим (59) есть вещественное преобразование, в силу которого уравнение

переходит в уравнение

Но линейное однородное преобразование (59) не меняет свободного члена 1, и, следовательно, оно должно оставлять неизменной и левую часть уравнения, т. е.

Все эти обстоятельства можно непосредственно получить и из самого вида преобразования (59). Итак, формулы (59) дают вещественные ортогональные преобразования с тремя переменными. Покажем теперь, что определитель преобразования (59) всегда равен . Этот определитель есть непрерывная функция вещественных и мнимых частей комплексных переменных а и b, которые должны удовлетворять соотношению (58). Но величина определителя может быть только или и в силу упомянутой выше непрерывности эта величина должна быть все время или все время Но при формулы (59) дают нам тождественное преобразование с определителем , т. е. действительно определитель преобразования (59) всегда равен Итак, линейные преобразования (59) представляют собою вращение пространства вокруг начала.

Докажем теперь, что всякое вращение пространства может быть представлено в виде (59). Если мы положим:

т. е. возьмем матрицу унитарного преобразования

то формулы (59) дадут нам:

т. е. мы получим вращение вокруг оси Z на угол

Если теперь возьмем:

т. е. матрицу унитарного преобразования определим следующим образом:

то формулы (59) дадут нам:

Это будет вращение вокруг оси X на угол .

Но, как мы знаем [20], всякое вращение с углами Эйлера , может быть получено в результате поворота вокруг Z на угол а, последующего поворота вокруг новой оси X на угол (3 и последующего затем поворота вокруг новой оси Z на угол

Обозначим через матрицу третьего порядка, соответствующую преобразованию (61), и через матрицу преобразования (63). Поворот вокруг оси Z на угол а будет осуществляться матрицей При этом новая ось X получится из прежней оси X при помощи этой же матрицы, и поворот вокруг новой оси X на угол будет осуществляться, как нетрудно видеть, матрицей и первые два поворота осуществляются матрицей

Как и выше, поворот вокруг новой оси Z на угол у будет осуществляться матрицей

и окончательно вращение будет осуществляться матрицей

или

В предыдущих рассуждениях мы пользовались тем очевидным фактом, что если есть матрица, дающая вращение вокруг некоторой оси проходящей через начало, на угол и матрица М переводит в ось и то вращение вокруг на угол будет определяться подобной матрицей:

Заметим теперь, что если и — два унитарных преобразования (57), которым соответствуют ортогональные преобразования то произведению будет, очевидно, соответствовать также произведение . Таким образом, вращение пространства будет получаться в силу (64) от унитарной матрицы, являющейся произведением трех унитарных матриц:

Итак, всякому унитарному преобразованию соответствует определенное вращение трехмерного пространства, и таким образом получаются все вращения. Произведению двух унитарных преобразований будет соответствовать произведение соответствующих вращений. Мы можем сказать, что формулы (59) определяют гомоморфизм группы унитарных преобразований с определителем единица с группой вращения трехмерного пространства.

Посмотрим теперь, какие унитарные преобразования дают Тождественное преобразование, т. е. единичный элемент в группе вращения. Третья из формул (59) дает нам при этом

откуда . Пусть . Первая из формул (59) дает:

Отсюда непосредствен следует или .

Мы получаем, таким образом, два унитарных преобразования с матрицами

которым соответствует единичный элемент в группе вращения.

Положим теперь, что две унитарные матрицы U и V дают одно и то же вращение. При этом будет давать тождественное преобразование в группе вращения пространства, т. е. или так что или . Заметим при этом, что знак перед матрицей означает, что у всех элементов матрицы надо изменить знак. Предыдущие рассуждения показывают, что унитарные преобразования (67) приводят к одинаковому вращению пространства только тогда, когда они отличаются лишь знаком. Наоборот, если они отличаются только знаком, то, как мы уже упоминали выше и как это следует из формулы (69), они дают одно и то же вращение пространства. Окончательно можем сказать, что группа вращения пространства будет гомоморфна группе унитарных преобразований (67) с определителем единица, причем одинаковые вращения получаются тогда и только тогда, когда унитарные матрицы отличаются лишь знаком.

Матрицы Е и образуют нормальный делитель Н группы Q - унитарных преобразований (57) с определителем единица. Всякая сопряженная совокупность по этому нормальному делителю Н состоит из двух элементов любой элемент группы. Из сказанного выше непосредственно следует, что группа вращения изоморфна дополнительной к Н группе.

Формулы (59) содержат два комплексных параметра а и которые должны удовлетворять соотношению (58). Каждый из комплексных параметров содержит два вещественных параметра

и соотношение (58) равносильно следующему:

Таким образом, формулы (59) содержат четыре вещественных параметра, которые должны удовлетворять одному соотношению, т. е. формулы (59) содержат три независимых вещественных параметра, как это и должно быть для группы вращения. Параметры а и b называются обычно параметрами Кейли — Клейна. Нетрудно получить их выражение через углы Эйлера. Действительно, перемножая три унитарные матрицы (65), получим, как мы видели выше, ту унитарную матрицу, которая будет соответствовать вращению с углами Эйлера . Умножая, получим для соответствующих параметров а и b следующие выражения:

Если прибавить или то а и b переменят знак, а вращение по существу останется тем же. Это обстоятельство было отмечено уже выше.