77. Характеры.

Пусть, как и выше, два неэквивалентных, неприводимых представления порядков и q группы G с элементами Обозначим через следы матриц в этих представлениях, т. е. сумму их диагональных элементов:

Эти числа называются характерами упомянутых представлений. У эквивалентных представлений характеры, очевидно, одинаковы [27], и мы можем считать, что упомянутые представления суть унитарные представления. Формула ортогональности дает:

откуда, суммируя по и по получаем формулу ортогональности для характеров:

Точно так же формула (158) дает:

и, суммируя по I и получим

Пользуясь этими формулами, докажем некоторые теоремы.

Теорема 1. Необходимым и достаточным условием эквивалентности двух неприводимых представлений является совпадение всех их характеров.

Мы уже упоминали о том, что характеры у эквивалентных (приводимых или неприводимых) представлений одинаковы, и тем самым необходимость условия установлена. Положим теперь наоборот, что дано совпадение системы характеров двух неприводимых представлений, т. е. и докажем эквивалентность представлений. В силу (164) имеем:

откуда вытекает эквивалентность представлений, ибо если бы они были не эквивалентны, то мы должны были иметь равенство (163). Отметим, что порядок матриц в эквивалентных представлениях должен быть, очевидно, одинаковым. В соответствии с каждым неприводимым представлением введем в -мерном комплексном пространстве векторы с составляющими:

В силу (164) эти векторы нормированы и, в силу (163), векторы, соответствующие неэквивалентным представлениям, взаимно ортогональны Отсюда следует, что не может существовать больше чем неэквивалентных неприводимых представлений группы G порядка . В дальнейшем мы уточним общее число неэквивалентных неприводимых представлений группы. Обозначим пока это число буквою I Пусть эти неэквивалентные неприводимые представления и

— характеры этих представлений.

Пусть имеется некоторое представление с характерами:

В результате приведения представления w оно изобразится квазидиагональными матрицами, составленными из матриц представлений . Для характеров мы будем иметь таким образом:

где - целые числа, не меньшие нуля, которые показывают, сколько раз представление входит в состав представления после его приведения.

Можно указать формулы для определения коэффициентов а, - по характерам представления . Пусть k — одно из чисел Умножим обе части (165) на и просуммируем по s. Пользуясь (163) и (164), получим:

откуда

Эта формула дает для всякого а определенное значение, откуда вытекает следующая теорема:

Теорема 2. Всякое приводимое представление распадается на единственную совокупность неприводимых представлений.

Пользуясь формулой (166), нетрудно обобщить теорему 1 и на случай любых, а не только неприводимых, представлений.

Теорема 3 Необходимым и достаточным условием эквивалентности двух представлений является совпадение всех их характеров.

Необходимость условия отмечалась и при доказательстве теоремы 1. Наоборот, если характеры двух представлений одинаковы, то, согласно формулам (166), мы получим одинаковые значения для чисел и оба представления приводятся, следовательно, к квазидиагональной матрице, состоящей из одинаковых неприводимых представлений. При этом, переходя, если нужно, к эквивалентным представлениям, можем считать, что указанные неприводимые представления расположены в квазидиагональной матрице в одинаковом порядке, ибо одна и та же перестановка строк и столбцов равносильна переходу к эквивалентному представлению.

Тем самым представления с одинаковыми характерами приводятся к одним и тем же квазидиагональным матрицам, т. е. они эквивалентны.

Перейдем теперь к исследованию числа всех неприводимых, не эквивалентных между собой представлений группы G. Элементы этой группы распределяются по классам. В один и тот же класс входят те элементы, которые получаются из одного из них при помощи формул:

Всем этим элементам соответствуют в любом представлении подобные матрицы, имеющие одинаковый след. Пусть — число классов в группе G. В силу сказанного выше, всякое линейное представление группы G имеет не больше чем различных характеров, причем каждый характер соответствует не отдельному элементу, а всем элементам, входящим в некоторый класс.

Пусть класс состоит из элементов, класс элементов и, наконец, класс элементов. Слагаемые суммы (163) будут одинаковыми для элементов одного и того же класса и, обозначая через - характеры, соответствующие элементам, входящим в класс для двух неэквивалентных неприводимых представлений можем переписать (163) в виде:

и (164) в виде:

Таким образом, для характеров неэквивалентных, неприводимых представлений будем иметь:

Введем в пространстве число измерений которого равно векторов с составляющими:

Предыдущие равенства показывают, что эти векторы попарно ортогональны и нормированы, а потому и линейно-независимы. Отсюда вытекает, что их число I не больше числа измерений, т. е. Мы получили теорему:

Теорема 4. Число неэквивалентных, неприводимых представлений группы не больше числа классов группы.

В следующем номере покажем, что всегда . Поскольку мы только что показали, что для доказательства равенства достаточно доказать неравенство Доказательство этого неравенства связано с введением некоторых новых понятий и соотношений между характерами, которые представляют интерес и сами по себе.

Установим еще одно соотношение между характерами любого неприводимого представления. Положим, что класс состоит из элементов Если какой-либо элемент группы, то элементы дадут опять все элементы из класса С, но уже в другом порядке. Отсюда следует, что если мы возьмем совокупность всех произведений элементов, входящих в некоторые классы

то совокупность элементов

будет той же самой. Отсюда следует, что совокупность элементов (168) обладает тем свойством, что если некоторый элемент принадлежит этой совокупности, то этой же совокупности принадлежит целиком весь класс, содержащий этот элемент, причем каждый элемент этого класса входит в совокупность элементов (168) одинаковое число раз

Обозначим через целое число, не меньшее нуля, которое показывает, сколько раз элементы класса входят в совокупность элементов (168). Иначе это записывают, чисто условно, следующим образом:

или

Пусть - матрицы порядка n некоторого неприводимого линейного представления группы G. Образуем сумму матриц, соответствующих элементам класса и обозначим эту матрицу через

Принимая во внимание, что элементы при и любом из G дают всю совокупность элементов класса мы видим, что матрица коммутирует со всеми матрицами Отсюда следует, что эта матрица кратна единичной матрице [66], так что можем написать:

где - некоторые числа. Принимая во внимание определение чисел т. е. символическую формулу (170), получаем следующее соотношение между числами

След матрицы равен сумме следов матриц , т. е. равен . С другой стороны, из (171) следует, что след равен откуда

и соотношение (172) приводит нас к следующей теореме.

Теорема 5. Между характерами любого неприводимого представления, образованного матрицами порядка , имеют место соотношения:

Отметим, что среди классов имеется класс, состоящий только из единичного элемента Е группы G. В любом линейном представлении ему соответствует единичная матрица, след которой равен ее порядку .

Этот класс мы будем всегда обозначать через так что и предыдущую формулу можно переписать в виде:

Определим теперь значения постоянных Каждому классу соответствует некоторый класс состоящий из элементов, обратных тем, которые входят в класс Это следует непосредственно из определения классов и из того, что формула приводит к формуле

Класс может и совпадать с т. е. может случиться, что Во всяком случае классы содержат одинаковое число элеменхов, т. е. Если в формуле (173) или то в правую часть класс будет входить раз, а при правая часть не содержит т. е.