Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
45. Пространство с бесчисленным множеством измерений.Мы переходим теперь к введению понятия о пространстве с бесчисленным множеством измерений. Предварительно нам надо ввести понятие о пределе комплексного переменного. Положим, что комплексное переменное
Говорят, что комплексное число
Поскольку под радикалом оба слагаемых не отрицательны, условие,
равносильно
Он называется сходящимся, если сумма его первых
стремится к пределу:
составленных из вещественных и мнимых частей членов ряда (227). Положим, что сходится ряд
составленный из модулей членов ряда (227). В силу очевидных неравенств
при этом и ряды (228) будут сходящимися и притом абсолютно сходящимися, а потому и ряд (227) будет также сходящимся, т. е. если сходится ряд (229), то ряд (227) и подавно сходится. В этом случае ряд (227) называется абсолютно сходящимся. Применяя обычный признак Коши, мы можем формулировать необходимое и достаточное условие абсолютной сходимости следующим образом: при любом малом положительном
если только Применим теперь сказанное выше к некоторым частным случаям, которые играют существенную роль в дальнейшем. Рассмотрим ряд вида:
где
сходятся. Применим доказанное в [29] неравенство
Принимая во внимание сходимость рядов (233), мы получаем отсюда, что сумма
будет сколько угодно малой при больших Рассмотрим теперь ряд
причем по-прежнему будем считать, что ряды (233) сходятся. Ряд (234) можно представить в виде суммы четырех рядов:
Первые два из них сходятся по условию, сходимость же последних двух рядов вытекает из доказанного выше предложения, т. е. сходимость рядов (233) обеспечивает и сходимость ряда (234). Обратимся теперь к рассмотрению пространства с бесчисленным множеством измерений. Мы назовем вектором в таком пространстве последовательность бесчисленного множества комплексных чисел
причем всегда будем считать, что эти числа подчиняются некоторому условию, а именно ряд
должен быть сходящимся рядом. Совокупность таких векторов называется обычно пространством Гильберта, который впервые изучал такое пространство. В дальнейшем мы будем для краткости называть его пространством Для векторов пространства Раз ряд (235) сходится, то, очевидно, ряд
сходятся, то из вышесказанного вытекает, что и ряд
также сходится, т. е. последовательности чисел
Точно так же, в силу сказанного выше, мы можем для векторов
откуда следуют формулы [13]
Сумма
определяет квадрат нормы (длины) вектора
т. е. Для скалярного произведения имеет место неравенство [30]
и совершенно так же, как в [30], выводится правило треугольника
Норма положительна для всякого вектора, кроме нулевого вектора, у которого она равна нулю. Два вектора Если векторы
или, что то же самое:
т. е. квадрат нормы суммы попарно ортогональных векторов равен сумме квадратов норм слагаемых. Естественно назвать это предложение теоремой Пифагора. Из определения нормы непосредственно следует, что если с — комплексное число, то для нормы вектора
Говорят, что векторы
образуют ортонормированную систему, если эти векторы попарно ортогональны и норма каждого равна единице, т. е.
где
где — любые комплексные числа. Ортонормированные системы могут состоять и из бесчисленного множества векторов. В качестве примера приведем основные орты пространства
Для составляющих любого вектора
Вернемся к конечной ортонормированной системе (241). Скалярное произведение
вообще говоря, отлична от у. Представим у в виде
Умножая обе части этого равенства скалярно на
т.е.
откуда непосредственно следует неравенство
которое называется неравенством Бесселя. В этом неравенстве будет иметь место знак равенства в том и только в том случае, когда Для перенесения последних результатов на случай бесконечных ортонормированных систем нам необходимо ввести понятие предела последовательности векторов и рассматривать бесконечные ряды, члены которых — векторы
|
1 |
Оглавление
|