13. Скалярное произведение.
Условимся относительно одного обозначения. Если а — некоторое комплексное число, то символом и будем обозначать число, сопряженное с а, и символом 
модуль числа а, так что 
Если а вещественно, то 
. Введем теперь новое понятие, которое в дальнейшем будет играть большую роль.
Определение. Скалярным произведением двух векторов
называется число, равное следующей сумме:
Мы будем обозначать скалярное произведение символом 
. Имеем:
откуда следует
Назовем два вектора взаимно перпендикулярными или взаимно ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Поскольку число, сопряженное с нулем, есть также нуль, в условии ортогональности порядок векторов в скалярном произведении роли не играет. Нетрудно видеть, что нулевой вектор 
ортогонален к любому вектору 
Из определения скалярного произведения непосредственно вытекают следующие его свойства:
где а — численный множитель. Кроме того:
и этот распределительный закон имеет место для любого числа слагаемых. Из него следует, между прочим:
Составим скалярное произведение вектора 
на этот же вектор:
Мы получаем таким образом вещественное число, которое будет положительным для вектора 
отличного от нулевого вектора 
, и равным нулю для нулевого вектора. Корень квадратный (арифметическое значение) из вещественного числа 
называется нормой или длиной вектора X. Обозначая эту норму символом 
можем написать:
Равенство 
равносильно тому, что 
есть нулевой вектор. Положим, что имеются три взаимно перпендикулярных вектора 
, т. е.
Применяя распределительный закон для скалярного произведения и принимая во внимание написанные равенства, получим:
или
Эта формула выражает теорему Пифагора. Она справедлива для любого числа слагаемых. Существенно лишь, что эти слагаемые векторы попарно ортогональны. Покажем, что если векторы 
попарно ортогональны и среди них нет нулевого вектора, то они линейно независимы. Действительно, положим
и покажем, что все числа 
должны равняться нулю. Умножим обе части этого равенства скалярно на 
, где k — одно из чисел 1,2
В силу того, что векторы 
попарно ортогональны, 
при 
, так что последняя формула дает: 
откуда, в силу 
следует 
и это при любом выборе k.
