51. Линейные операторы в L2.

Положим, что имеет место определенный закон, согласно которому всякой функции из соответствует некоторая другая функция из того же

где А — символическое обозначение этого закона соответствия. Мы имеем здесь как бы обобщенное понятие функции: роль аргумента играет не любое число из некоторого множества, например, промежутка, а любая функция из и значением функции является также некоторая функция из Такое соответствие, устанавливаемое формулой (285), называется обычно функциональным оператором. Оператор А называется линейным, если

где а — любое комплексное число, и ограниченным, если существует такое положительное число , что

при любом из

Если последовательность сходится к в и А — линейный ограниченный оператор, то сходится к в . Это непосредственно следует из неравенства

т. е.

Нетрудно сформулировать для рассматриваемого случая определения эрмитовского и унитарного преобразований. Линейный ограниченный оператор А называется эрмитовским (самосопряженным), если

для любых из . Линейный оператор U называется унитарным, если он биоднозначно преобразует в себя,

и не меняет нормы:

Указанная биоднозначность преобразования (289) сводится к следующему: не только всякому элементу из соответствует определенный элемент но и всякому из соответствует один определенный прообраз Из этого следует, что для U имеется обратный оператор который по восстанавливает Нетрудно видеть, что также унитарный оператор. Для унитарного оператора неравенство (287) можно заменить равенством, положив Легко показать, что унитарное преобразование не меняет не только нормы, но и скалярного произведения, т. е.

для любых из и что U преобразует всякую полную ортонормированную систему из в такую же систему. Определим еще понятие сопряженного оператора. Оператор А называется сопряженным с линейным ограниченным оператором А, если для любых из имеет место равенство:

Можно показать, что для всякого линейного ограниченного оператора А существует единственный сопряженный оператор А. Рассмотрим пространство функций одного независимого переменного, определенных на конечном или бесконечном промежутке . В таком линейные операторы часто определяются формулой

где функция, определенная (измеримая) в квадрате а

Операторы вида (290) называются обычно интегральными операторами, а функция ядром оператора. Если

или если существует такое число , что при всех из то формула (290) определяет линейный ограниченный оператор. Можно показать, что оператор, сопряженный с ограниченным оператором (290), есть также интегральный оператор с ядром Примером унитарного преобразования в на промежутке является преобразование Фурье:

где есть предел функции от полученной в результате интегрирования в на промежутке т. е. если обозначим

то

Если не только принадлежит на промежутке но и суммируема на этом промежутке, то преобразование Фурье можно записать в обычной форме

Неизменность нормы при преобразовании Фурье имеет вид:

Рассмотрим теперь один частный пример. Пусть в пространстве на промежутке задан линейный оператор умножения на независимую переменную:

Имеем, очевидно:

т. е. для оператора в формуле (287) можно считать . Построим линейное преобразование, выражающее оператор (291) в если приняв за основу полную ортонормированную систему (284). Пусть коэффициенты Фурье относительно системы (284):

и - коэффициенты Фурье

Нам надо построить линейное преобразование (бесконечную матрицу), выражающее через Определим коэффициенты Фурье функции

Интегрируя по частям, получим

Переписывая выражение в виде:

и применяя обобщенное уравнение замкнутости, получим

где штрих над знаком суммы показывает, что надо исключить слагаемое, соответствующее

Формула (292) и дает линейное преобразование в соответствующее оператору (291) в если за координатные функции в пространстве взяты функции (284). Нетрудно показать, что оператор (291) — самосопряженный.

Проведем общее рассуждение для любого линейного ограниченного самосопряженного оператора А, причем будем записывать коэффициенты Фурье в виде скалярного произведения и учтем определение (288) самосопряженного оператора. Введем коэффициенты Фурье для относительно полной ортонормированной системы

Введем теперь коэффициенты Фурье функций

откуда следует, что ибо по определению

Принимая во внимание обобщенное уравнение замкнутости, формулу для и (294), получим:

т. е.

Это преобразование и выражает оператор А в если приняты за координатные функции в .

Мы рассматривали в предыдущих параграфах три случая, когда линейный оператор задан на всем и ограничен. Если мы возьмем, например, оператор дифференцирования то он задан не на всем ибо не всякая функция из имеет производную. Кроме того, указанный оператор не ограничен на том множестве функций, на котором он задан.

Более подробное и строгое изложение материала последних параграфов будет дано в пятом томе.