87. Вспомогательные формулы.

Вернемся к формулам из [82]. Мы имеем:

причем выражается через и согласно формулам (189) или (192), которые определяют основную групповую операцию. Составим матрицу, зависящую от переменных и т. е. элементов группы Обозначим эту матрицу символом и элементы ее определим следующими формулами:

Мы уже рассматривали эту матрицу в [82] при т. е. при где Е — единичный элемент группы. Изучим свойства этой матрицы. Из ее определения непосредственно следует:

Докажем еще формулу:

Положим , так что

Применяем правило дифференцирования сложных функций

откуда

Положив в этом равенстве получим равенство (233). При получим выражение матрицы, обратной матрице

Матрица в обозначениях из [82] будет и обратная матрица будет . Сейчас мы их будем обозначать символами

Мы имеем:

Формула (233) дает:

и соотношение (231) может быть записано в виде:

Умножая обе части на и суммируя по получим, в силу (236):

Дифференцируем (238) по р:

откуда, выражая согласно формуле (238):

Переставляя в правой части k и пользуясь независимостью левой части от порядка дифференцирования и переставляя переменные суммирования s и q, получим:

Умножим обе части на произведение и просуммируем по и l от 1 до . Принимая во внимание (236), получим равносильную систему равенств:

От этих равенств легко перейти к предыдущим, умножая обе части на произведение и суммируя по и h. В последнем равенстве левая часть зависит только от а правая — только от Таким образом, ввиду произвольности в формуле (230) и тем самым независимости и обе части последней формулы должны равняться одной и той же постоянной, и, в частности:

Меняя значки, можем написать:

Если положим в этом тождестве , и примем во внимание, что то получим:

Сравнивая с формулой (199) из [82], мы видим, что суть структурные постоянные, определенные нами выше. Умножая обе части (240) на и суммируя по i и k, получим в силу (236):

Вернемся к формулам (207) и (208). Формула (208) получается, как мы видели, путем приравнивания нулю квадратной скобки формулы (207) при . Пользуясь (241), легко показать, что из (208) вытекает, что квадратная скобка формулы (207) равна нулю и при любых .

Второе слагаемое этой скобки представим в виде:

причем мы не выписываем аргумента .

Заменяя у вычитаемого j на k и k на j, получим:

Преобразуя первое слагаемое скобки формулы (207):

согласно (241), получим непосредственно тот же результат, но с обратным знаком. Наряду с матрицей рассмотрим матрицу элементы которой определяются формулами:

Совершенно так же, как и выше, можно доказать формулы:

которые нам понадобятся в дальнейшем.