80. Представления линейной группы с двумя переменными.

В [68] мы построили линейные представления унитарной группы с двумя переменными, что привело нас к линейным представлениям групп вращения. Аналогично можно построить представления линейной группы с двумя переменными и с определителем, равным единице:

В силу сказанного в [64] это приведет нас к однозначным и двузначным представлениям группы положительных преобразований Лоренца. Результаты окажутся существенно отличными от результатов из [68].

Одним из возможных линейных представлений унитарной группы (93) является представление этой группы самой собой, т. е. линейное представление, при котором каждому преобразованию (93) соответствует это же преобразование. Легко видеть, что другим линейным представлением является следующее: каждому преобразованию (93) приводится в соответствие преобразование с комплексными сопряженными коэффициентами:

Но это представление эквивалентно предыдущему, что непосредственно следует из легко проверяемой формулы:

Для группы (183) сопряженное представление

не эквивалентно самой группе (183). Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть случай При этом матрица преобразования (183) имеет характеристические числа а и d, а матрица (184) — характеристические числа и d. Очевидно, можно выбрать комплексные числа удовлетворяющие условию так, что совокупность чисел а и d будет отлична от совокупности чисел а и d, и, следовательно, соответствующие преобразования не могут быть подобными. Таким образом в данном случае мы уже имеем два неэквивалентных представления второго порядка — саму группу (183) и группу . О неприводимости представлений будет сказано ниже.

Мы можем далее построить представления группы (183) совершенно так же, как это было сделано в [68]. В формулах (99) надо только заменить а на с и на .

Это приведет к следующему представлению порядка где j — целое неотрицательное число или половина нечетного числа:

Здесь пробегают следующий ряд значений:

и суммирование по k определяется неравенствами:

В формулах (185) надо считать . При получается тождественное представление единицей. Кроме представлений (185), мы можем написать непосредственно другие представления, заменив в правых частях (185) числа а, b, с и d сопряженными. Соответствующие представления обозначим следующим образом:

Мы можем составить теперь композицию представлений (185) и (186) [73], в результате чего получится повое представление порядка Обозначим его следующим образом:

Пользуясь формулами (185), легко выписать элементы матриц, соответствующих этому представлению. Возьмем два различных представления (187), но так, чтобы порядок их был одинаковым:

Покажем, что такие два представления не эквивалентны. Положим При этом матрица (185) приведется к диагональной матрице с диагональными элементами:

Прямое произведение двух диагональных матриц есть диагональная матрица, и, следовательно, матрицы при имеют следующие характеристические числа:

или, принимая во внимание, что

В качестве а мы можем взять любое комплексное число, отличное от нуля, и можно, очевидно, выбрать это число так, что совокупность характеристических чисел матрицы будет отлична от совокупности характеристических чисел матрицы что и доказывает неэквивалентность представлений (187) при различных выборах Отметим, что при представление (187) совпадает с представлением (185), а при оно совпадает с тем представлением, которое получается из (185) при и при замене сопряженными величинами. Отметим одну особенность представлений (187). Эти представления не эквивалентны унитарным представлениям. Если бы они были эквивалентны некоторым унитарным представлениям, то все характеристические числа любой матрицы представления должны иметь модуль, равный единице, а выше мы видели, что у представления эти характеристические числа при равны и могут быть по модулю, очевидно, отличными от единицы. Исключением является лишь представление которое является тривиальным тождественным представлением, при котором каждому элементу группы (183) соответствует единица.

В [66] мы видели, что если некоторое представление, не обязательно эквивалентное унитарному, приводимо, т. е. эквивалентно некоторому представлению с квазидиагональными матрицами одной и той же структуры, то обязательно существует матрица, отличная от кратной единичной матрицы и коммутирующая со всеми матрицами представления. Таким образом, для того, чтобы доказать, что любое представление (187) не является приводимым, достаточно показать, что если некоторая матрица коммутирует со всеми матрицами представления (187), то эта матрица кратна единичной матрице. Это можно сделать совершенно так же, как и в [68]. Итак, представления (187) попарно неэквивалентны и каждое из них является неприводимым представлением. Часто пользуются определением приводимости, отличным от того, которое мы привели в [68], а именно представление называют приводимым, если все его линейные преобразования (пусть их порядок равен оставляют инвариантным некоторое подпространство причем

Мы видели [68], что если приводимое в этом смысле представление состоит из унитарных матриц, то оно приводимо и в смысле определения из [65], т. е. эквивалентно некоторому квазидиагональному представлению. Если представление не унитарно, то из инвариантности некоторого подпространства не следует приводимость в смысле определения из [66]. Можно показать, что всякое представление (187) группы не только неприводимо в том смысле, как это мы доказали, но что оно не оставляет инвариантным никакое подпространство. Кроме того, можно показать, что всякое линейное представление группы (183) или эквивалентно одному из представлений (187), или эквивалентно представлению, имеющему приведенную формулу и состоящему из нескольких представлений (187).

В [73] мы видели, что композиция двух линейных представлений группы равносильна перемножению объектов тех линейных представлений, которые входят в эту композицию. Принимая это во внимание, мы можем утверждать, что для представлений (187) объектами представлений являются выражения:

причем испытывают преобразование (183), а преобразование (184).

Мы говорили до сих пор о линейных представлениях группы, состоящей из положительных преобразований Лоренца [64]. Эти положительные преобразования составляют лишь часть преобразований Лоренца с определителем, равным единице. Кроме того, имеются преобразования Лоренца и с определителем Исследование структуры этих более общих множеств преобразований и расширение линейных представлений группы положительных преобразований Лоренца на случай полной группы Лоренца представляет некоторые особенности по сравнению с группой ортогональных преобразований в трехмерном пространстве. Отметим, что при определении полной группы Лоренца мы можем поставить требование неизменности в направлении отсчета времени. При этом к рассмотренной группе Лоренца надо добавить отражение:

Исследование всех указанных вопросов можно найти, например, в книге Картана „Теория спиноров" (Москва, 1947 г.) и в книге Ван-дер-Вардена „Метод теории групп в квантовой механике".