81. Теорема о простоте группы Лоренца.

Пользуясь методом, аналогичным тому, который мы применили в [70], докажем сейчас, что группа Лоренца есть проаая группа. Для этого достаточно показать, что у группы G, состоящей из преобразований (183), нет нормальных делителей, отличных от нормального делителя, состоящего из матриц . Пусть имеем такой нормальный делитель содержащий матрицу

отличную от Е и Надо доказать, что совпадает с О. Ели содержит некоторую матрицу В, то подгруппа содержит и все матрицы , где U - любая матрица из Q. Принимая во внимание основной результат о приведении матриц к каноническому виду, а также тот факт, что определитель матрицы U, приводящей какую-либо матрицу к каноническому виду, можно всегда считать равным единице [27], мы видим, что достаточно показать, что содержит, во-первых, матрицы с любыми допустимыми различными характеристическими числами t и где t — любое комплексное число, отличное от нуля и . Отметим, что произведение характеристических чисел матриц группы Q должно равняться единице. Далее, должно содержать матрицы Е и и, кроме того, учитывая случай равные характеристических чисел и двойного элементарного делителя, мы должны еще показать, что содержит матрицы:

Возьмем переменную матрицу группы :

и составим матрицу:

которая, как и в [70], должна входить в Для следа s матрицы Y получаем выражение:

Поскольку А отлична от (-), мы не будем иметь одновременно: . Отсюда ясно, что не есть постоянная, и, меняя z и у, мы можем придавать любые комплексные значения. Характеристические числа матрицы Y определяются из квадратного уравнения

Таким образом мы можем получать для этих корней любые значения t и следовательно, содержит все матрицы с различными характеристическими числами и определителем единица. Далее, , очевидно, содержит Е, а также которое можно представить в виде произведения:

каждый из множителей которого входит в . Матрицы (188) легко представить в виде произведения двух матриц с определителем единица и с различными характеристическими числами, откуда следует, что Ну содержит и эти матрицы. Действительно:

Таким образом доказано, что должно совпадать с G, т. е. G не имеет нормальных делителей, отличных от нормального делителя, состоящего из , и тем самым доказано, что группа положительных преобразований Лоренца есть простая группа. Отсюда следует, как и в [70], что эта группа не может иметь гомоморфных (не изоморфных) представлений.