69. Линейные представления группы вращения.

Предыдущие результаты представляются особенно важными поюму, что унитарная J группа (93) тесно связана с группой вращения трехмерного пространства, и полученный выше результат приводит нас к неприводимым линейным представлениям группы вращения.

Всякому унитарному преобразованию (93) соответствует определенное вращение, причем одновременная перемена знака у а и b дает унитарное преобразование, которому соответствует то же самое вращение. Параметры а и b связаны с углами Эйлера соответствующего вращения формулами [63]:

Рассмотрим сначала тот случай, когда j есть целое число. В этом случае формулы (99) показывают, что одновременная перемена знаков у а и b не меняет слагаемых, стоящих в правой части, так как сумма показателей у a, а b и b будет в данном случае равна четному числу . Таким образом, при этом тем двум унитарным преобразованиям, которые дают одно и то же вращение, соответствует одинаковая матрица в линейном представлении. Иначе говоря, при целом j каждому вращению с углами Эйлера , соответствует определенная матрица в линейном представлении Вместо обозначим теперь эту матрицу через

Если есть половина целого числа, то одновременная перемена знаков у а и b приводит к перемене знака и у всех выражений (99), т. е. в данном случае тем унитарным преобразованиям, которые приводят к одному и тому же движению, соответствуют различные матрицы, а именно матрицы, все элементы которых отличаются знаком. В данном случае каждому вращению будут соответствовать также две матрицы, отличающиеся знаком, т. е. в данном случае в (104) перед мы должны поставить два знака. Таким образом, при целом матрицы (104) дают линейное представление группы вращения. При равном половине целого числа, мы не получаем, точно говоря, линейного представления. В данном случае говорят о двузначном линейном представлении.

Чтобы найти выражение элементов матриц (104), достаточно в выражениях (99) заменить а и b по формулам (103). Мы получаем, отбрасывая предварительно множитель

Если воспользоваться переходом к эквивалентному представлению при помощи матрицы

то дело сведется к перестановке строк и столбцов в обратном порядке, т. е. в данном случае к замене I и 5 на Таким образом, вместо формул (105) мы можем написать другие формулы:

причем, пользуясь теми же соображениями, что и в [68], мы можем отбросить множитель простейшие частные случаи. При мы имеем линейное представление первого порядка

Это есть тривиальное тождественное представление. При мы имеем и величины будут просто равны т. e. в данном случае унитарная группа (93) и является своим собственным линейным представлением (с точностью до перестановки строк и столбцов).

Для группы движения мы получим двузначное представление второго порядка, определяемое матрицами

При мы будем иметь линейное представление третьего порядка:

Линейные представления при целом j дают биоднозначное представление группы вращения. Это следует непосредственно из того, что каждому соответствуют две матрицы из группы (93), отличающиеся лишь знаками у а и таким матрицам, как мы упоминали выше, соответствует одно и то же вращение. Если j — половина нечетного числа, то каждому вращению соответствуют две матрицы из представления отличающиеся лишь знаком. В частности тождественному преобразованию из группы вращения соответствуют из матрицы , где Е — единичная матрица порядка Если ограничиться преобразованиями из достаточно близкими к тождественному преобразованию, то будут однозначным представлением группы вращения. При этом в общих формулах (106) можно ограничиться значениями , достаточно близкими к нулю. Но если мы прибавим к а или у, то ввиду того, что s и I суть половины нечетных чисел, все элементы матрицы изменят знак, и мы получим второе представление того же самого по существу вращения. Покажем дальше, что указанные представления суть все изоморфные неприводимые представления группы вращения.

Так как яредставлёния суть все неприводимые представления группы вращения, то матрица , должна быть подобна матрице соответствующей вращению пространства с углами Эйлера

В [63] мы видели, что и, производя геремножение матриц, стоящих слева, получим:

и нетрудно проверить формулу:

где