11. Линейные формы.

С вопросом о решении систем уравнений первой степени тесно связано исследование систем линейных форм. Под линейной формой переменных мы подразумеваем линейную однородную функцию этих переменных. Пусть имеются таких линейных форм

Написанные формы называются линейно-зависимыми, если существуют постоянные среди которых есть отличные от нуля, такие, что имеет место, тождественно относительно переменных соотношение:

Если таких постоянных нет, то формы (17) называются линейно-независимыми. Мы должны в написанном тождестве приравнять нулю коэффициенты при всех переменных Таким образом написанное тождество равносильно следующей системе равенств:

Формы линейно-независимы тогда и только тогда, когда эта система однородных уравнений относительно имеет только нулевое решение.

Полученные выше результаты приводят к ряду следствий, касающихся линейной зависимости форм. Если то написанная однородная система имеет наверно не нулевые решения, и формы линейно-зависимы. Для того чтобы формы были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы ранг k таблицы коэффициентов был равен числу форм т. Если , т. е. если число форм равно числу переменных, то для линейной независимости необходимо и достаточно, чтобы определитель из всей квадратной таблицы был отличен от нуля. В этом случае говорят, что имеется полная система линейно-независимых форм. Если и формы (17) линейно-независимы (т. е. если то при любых значениях система уравнений (17) разрешима относительно тех переменных коэффициенты при которых образуют определитель порядка отличный от нуля, т. е. линейнонезависимые формы могут принимать любую совокупность значений Если при заданных определятся все переменные

Положим теперь, что Соответственно нумеруя формы и переменные можем считать, что в таблице в левом верхнем углу стоит определитель порядка отличный от нуля. При этом первые k форм: линейно-независимы, а каждая из остальных форм выражается линейно через первые k форм. Действительно, для первых k форм ранг таблицы коэффициентов, равный совпадает с числом форм, а потому формы линейно независимы. Если мы возьмем форму то ранг их таблицы коэффициентов, равный тоже меньше числа форм, так что формы линейно зависимы, т. е. существуют постоянные такие, что . В этом соотношении коэффициент должен быть отличным от нуля, так как иначе формы и оказались бы линейно-зависимыми, и мы получаем линейное выражение через первые k форм

Число k мы назовем рангом системы форм (17). Это число, равное рангу таблицы коэффициентов, с другой стороны — равно наибольшему числу линейно-независимых форм из системы форм (17).

Положим, мы имеем k линейно-независимых форм: где Можно считать, что определитель порядка А, стоящий в верхнем левом углу таблицы отличен от нуля. Нетрудно видеть, что можно дополнить систему этих k форм до полной системы линейно-независимых форм. Действительно, достаточно для этого положить, например:

Определитель полученных k форм будет:

Разлагая этот определитель, начиная с элементов последней строки, потом по элементам предпоследней строки и т. д., видим, что его величина равна определителю порядка k, стоящему в левом верхнем углу, т. е. отлична от нуля. Следовательно, формы действительно, линейно независимы. Итак, всякую систему линейнонезависимых форм можно дополнить до полной системы линейнонезависимых форм.