40. Эрмитовские матрицы и формы Эрмита.

В предыдущих параграфах мы рассматривали вещественные симметричные матрицы и отметили, что они являются частным случаем эрмитовских матриц, элементы которых суть комплексные числа, удовлетворяющие соотношению

При это соотношение показывает, что диагональные элементы должны быть вещественными.

Иначе можно формулировать определение эрмитовской матрицы так: эрмитовская матрица не меняется, если в ней строки заменить столбцами и все элементы сопряженными, т. е. в обозначениях из [26]:

Матрица А, как мы знаем, называется эрмитовски сопряженной с А. Поэтому эрмитовские матрицы иначе называются самосопряженными.

Выше мы показали [32], что эрмитовская матрица А удовлетворяет при любых векторах х и у соотношению

Это соотношение, как и два предыдущих, может служить определением эрмитовской матрицы.

Ошегим еще одно свойство эрмиювских матриц.

Пусть А — эрмитовская матрица и -любая унитарная матрица. Нетрудно показать, что будет, как и А, эрмитовской матрицей. По условию Надо доказать, что таким же свойством обладает и Мы имеем [26]:

или, принимая во внимание условие для А и унитарный характер U, откуда следует получим:

что и требовалось доказать.

Можно сказать, что при унитарном преобразовании координат, которое осуществляется для составляющих вектора формулой

эрмитовская матрица Л, как оператор линейного преобразования пространства, будет выглядеть в новых координатах в виде и, следовательно, доказанное предложение можно еще формулировать так: унитарные преобразования пространства не меняют эрмитовского характера матрицы как оператора.

Поставим теперь задачу о приведении эрмитовской матрицы к диагональной форме при помощи унитарного преобразования

Как и выше для вещественных симметричных матриц, наша задача равносильна задаче решения уравнения вида:

где есть одно из чисел и составляющие вектора дают элементы соответствующего столбца матрицы

Эти числа и соответствующие им векторы называются собственными значениями и собственными векторами матрицы А Собственные значения, как мы знаем, должны быть обязательно корнями уравнения

Пусть — некоторый корень этого уравнения и некоторое решение уравнения (185) при

Это уравнение будет линейным и однородным, так что его решение можно умножать на любую постоянную, и мы можем поэтому считать длину вектора равной единице.

Возьмем этот вектор за первый орт новой координатной системы и достроим каким-нибудь образом еще единичных векторов так, чтобы в общем получить ортонормированную систему векторов. Примем эти векторы за новые орты, и пусть то унитарное преобразование, которое соответствует переходу к этим новым ортам. В новой координатной системе наша эрмитовская матрица А перейдет в новую эрмитовскую матрицу причем соответствующее уравнение

должно при иметь в качестве решения вектор с составляющими (1, 0, 0). Как и в [33], это обстоятельство покажет нам, что у матрицы все элементы первой строки и первого столбца обратятся в нуль, кроме элемента, стоящего на пересечении первой строки и первого столбца и равного

Из эрмитовского характера матрицы непосредственно следует, что этот элемент должен быть числом вещественным, и отсюда, между прочим, непосредственно следует, что все корни уравнения (186) должны быть вещественными, что мы видели и раньше. Итак, матрица будет иметь вид:

т. е. это будет квазидиагональная матрица вида

где через мы обозначили эрмитовскую матрицу порядка с элементами Повторяя предыдущее рассуждение, мы сможем при помощи некоторого унитарного преобразования произведенного над ортами, кроме первого орта, привести матрицу к такому виду, при котором все элементы ее первой строки и первого столбца будут нули, кроме элемента, стоящего на их пересечении.

Упомянутое унитарное преобразование мы можем рассматривать как унитарное преобразование во всем нашем -мерном пространстве. Это будет квазидиагональная унитарная матрица вида:

В результате этого преобразования наша эрмитовская матрица перейдет в эрмитовскую матрицу вида:

и в раскрытом виде эта матрица будет

Продолжая рассуждать так и дальше, мы окончательно приведем нашу эрмитовскую матрицу к диагональной форме, причем то общее унитарное преобразование которое входит в форму (184), будет произведением тех унитарных преобразований, которые нам придется совершать при указанном выше процессе последовательного приведения матрицы к диагональной форме.

Обратимся теперь к уравнению (185). В [33] мы показали, что его решения, соответствующие различным значениям X, обязательно взаимно ортогональны.

Совершенно так же, как и в [33], мы можем показать, что векторы, представляемые столбцами матрицы U, вместе с соответствующими значениями X дают все решения уравнения (185). Необходимо только при этом иметь в виду одно важное обстоятельство, касающееся кратных корней уравнения (186). Если, например, уравнение (186) имеет корень кратности , то при уравнение (185) будет иметь линейно-независимых решений Всякая их линейная комбинация с произвольными коэффициентами будет, очевидно, также решением уравнения (185), т. е. уравнение

будет иметь совокупность решений, представляемую подпространством, образованным векторами т. е. определяемую суммой

с произвольными коэффициентами . Мы можем выбирахь в этом подпространстве любым образом ортонормированную систему векторов, составляющие которых и дадут нам те столбцы матрицы U, которые соответствуют собственному значению Здесь мы имеем, следовательно, такой же произвол в выборе матрицы U, какой мы имели и в [33] для Б. Кроме того, очевидно, мы можем составляющие всякого вектора который у нас получился в результате решения уравнения (185), умножить на численный множитель, по модулю равный единице, т. е. на численный множитель вида (фазовый множитель). При этом длина вектора останется равной единице и сохранится условие ортогональности эюго вектора к оаальным векторам, входящим в полную систему решений уравнения (185).

Наконец, мы можем в матрице U произвольным образом менять порядок столбцов. Это несущественное преобразование сводится, очевидно, к перемене нумерации ортов в новой координатной системе и оно влечет за собой лишь перестановку чисел в диагональной форме матрицы. В дальнейшем всегда будем считать, что эти числа идут в возрастающем порядке.

Перейдем теперь к рассмотрению форм Эрмита. Мы будем говорить, что эрмитовской матрице А соответствует форма Эрмита вида:

где суть составляющие вектора х. Число вещественно [32].

Положим теперь, что мы совершили над нашим пространством некоторое унитарное преобразование, причем старые составляющие векюра выражаются через новые по формуле . В новых координатах форма Эрмита (187) будет иметь вид:

Пользуясь свойством унитарных преобразований, мы можем оба вектора, образующих скалярное произведение, помножить слева на унитарную матрицу и, таким образом, получим в новых координатах следующее выражение для формы Эрмита (187):

В частности, если унитарное преобразование U преобразует матрицу А к диагональной форме, т. е. имеет место (184), то в новых переменных в нашей форме Эрмита останутся лишь члены, содержащие произведения и мы будем иметь приведение формы Эрмита к сумме квадратов модулей:

Таким образом, здесь, как и в [32], задача преобразования матрицы А к диагональной форме равносильна задаче приведения соответствующей формы Эрмита к сумме квадратов модулей.

Вместо формы Эрмита рассматривают иногда так называемую билинейную форму, определяемую следующим образом:

Если применить опять к пространству унитарное преобразование так, что новые составляющие будут выражаться через старые по прежним формулам, то в новых координатах мы получим:

или, в силу свойства унитарною преобразования:

Наконец, если U приводит А к диагональной форме, то в соответствующих координатах билинейная форма приведется к следующему простейшему виду:

Заметим, что всякая диагональная матрица с вещественными элементами есть эрмитовская матрица, а потому и матрица , где - любая унитарная матрица, будет также эрмитовской. Выше мы видели, что и, наоборот, всякую эрмитовскую матрицу мы можем написать в таком виде.

Формы Эрмита делятся, как и вещественные квадратичные формы [35], по знаку характеристических чисел Если, например, все положительны, то форма Эрмита называется определенно положительной. Характерным ее свойством является то свойство, что ее значения положительны при всяких и она может обратиться в нуль лишь при . Аналогично определяются знакопостоянные и знакопеременные формы Эрмита. Исследование совершенно аналогично случаю вещественных квадратичных форм и основано на формуле

Формула (183) справедлива для эрмитовских матриц. Если А — любая матрица и — сопряженная с ней матрица, то вместо (183) будем иметь:

Если элементы матрицы А, то у матрицы А элементы дуг и формула проверяется непосредственной подстановкой, как и формула (183).