36. Формула Якоби.

Приведем без доказательства формулу Якоби, дающую в удобном виде приведение квадратичной формы к сумме квадратов.

Для этого введем сначала некоторые обозначения. Положим:

Если ранг таблицы коэффициентов равен и определители отличны от нуля, то формула Якоби имеет вид:

причем линейные формы — линейно-независимы. Последняя формула дает возможность по знакам определить, к какому типу в отношении закона инерции принадлежит форма

В частности, если все определители положительны (при этом из (162) следует, что определенно положительна. Можно доказать и обратное предложение — если определенно положительная форма, то все указанные определители должны быть положительны. При применении формулы (162) можно, конечно, нумеровать переменные в любом порядке. При перемене нумерации будут меняться, конечно, и указанные выше определители , и каждый из главных миноров матрицы может быть определителем из последовательности при определенной нумерации переменных Из сказанного выше следует, что у определенно положительной формы все главные миноры положительны, но при этом достаточно убедиться в положительности определителей

Можно показать, что для того, чтобы форма была положительной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры были неотрицательны, т. е. были больше нуля или равны нулю. Здесь недостаточно определения знаков только определителей а нужно определять знаки всех главных миноров.

Для того чтобы форма была определенно отрицательной, необходимо и достаточно соблюдение неравенств . Для того чтобы была отрицательной, необходимо и достаточно, <ггобы главные миноры имели знак где k — порядок минора, или были равны нулю.

Доказательство указанных в настоящем номере предложений можно ндйти в книге Ф. Р. Гантмахера „Теория матриц" (1953 г.).