53. Группы правильных многогранников.

Приведем еще примеры конечных групп, причем образуем их из вращений трехмерного пространства вокруг начала. Такие вращения в определенной координатной системе выражаются, как мы знаем, некоторыми линейными преобразованиями координат. Заметим, что когда мы говорим о вращении пространства вокруг начала, то подразумеваем под этим лишь окончательный эффект перехода из начального положения в преобразованное. Каким путем этот переход совершается, это совершенно не входит в наше рассмотрение. Действительно, всякое линейное преобразование определяет координаты преобразованной точки, но, конечно, ничего не говорит о самом пути преобразования. Рассмотрение самого пути преобразования совершенно при этом не входит в рассуждения.

Рис. 2.

Рассмотрим сферу с центром в начале и радиусом единица. Впишем в эту сферу какой-нибудь правильный многогранник, например октаэдр (рис. 2). Поверхность этого многогранника состоит, как известно, из восьми равносторонних треугольников. Рассмотрим теперь совокупность тех вращений трехмерного пространства вокруг начала, при которых взятый нами октаэдр совмещается сам с собой. Нетрудно видеть, что Совокупность этих вращений образует группу и что эта группа содержит конечное число элементов.

Подсчитаем число элементов группы Возьмем какую-нибудь ось октаэдра, соединяющую две противоположные вершины. Октаэдр совместится сам с собой, если мы повернем пространство вокруг упомянутой оси на угол Вращению на угол соответствует, очевидно, тождественное преобразование, т. е. единичная матрица. Обозначим упомянутые четыре вращения вокруг взятой оси через

Пусть А — одна из вершин октаэдра, лежащая на взятой оси. Введем в рассмотрение пять линейных преобразований

при которых октаэдр совмещается сам с собой, а его вершина А совпадает с одной из остальных пяти вершин октаэдра Наряду с четырьмя вращениями (8) составим еще 20 вращений просфанства вокруг начала следующего вида,

Нетрудно проверить, что 24 вращения (8) и (9) различны. Это совершенно очевидно и геометрически, а также может быть доказано следующим путем: пусть

Преобразования соответствуют повороту вокруг оси, проходящей через вершину А, и при этих преобразованиях остается на месте. Преобразования при различных значках переводят вершину в различные вершины, и, следовательно, из равенства (10) вытекает, что значки должны быть одинаковы, но тогда, очевидно, из этого же равенства будет путем умножения слева на следовать, что и значки q и также должны быть одинаковы, т. е. равенство (10) может иметь место только тогда, когда правая и левая части состоят из одинаковых сомножителей. Следовательно, выражения (8) и (9) дают нам 24 различных вращения, при которых октаэдр совмещается сам с собой. Покажем теперь, что этим и исчерпываются все вращения, обладающие этим свойством. Действительно, пусть -некоторое вращение, при котором наш октаэдр переходит сам в себя. Положим, что при этом вершина А совмещается с некоторой другой вершиной и пусть — то из преобразований Тк, которое преобразует А также в Составим преобразование . При этом октаэдр переходит в себя, и вершина А остается на месте. Следовательно, остается на месте и противоположная вершина, и составленное нами преобразование есть одно из вращений S вокруг оси, проходящей через вершину А, т. е. и отсюда .

Иначе говоря, всякое вращение, при котором октаэдр переходит в себя, должно заключаться среди тех 24 вращений, которые мы составили выше. Итак, окончательно, группа вращения, при которой октаэдр переходит в себя, содержит 24 элемента.

Мы можем, очевидно, вписать в сферу единичного радиуса куб таким образом, чтобы радиусы, идущие в центры грани октаэдра, имели своими концами вершины куба Отсюда непосредственно следует, что группа вращения для куба будет той же самой, что и для октаэдра. Положим, что мы иначе выбрали положение октаэдра, а именно, что новое положение октаэдра получается из первоначального при помощи вращения, осуществляемого некоторой матрицей U. Если V есть некоторое вращение, при котором прежний октаэдр переходил сам в себя, то, очевидно, UVU 1 будет давать такое вращение, при котором новый октаэдр будет переходить в себя, и наоборот. Таким образом, если группа вращения прежнего октаэдра состояла из матриц то группа вращения нового октаэдра будет просто состоять из подобных матриц . Иначе говоря, получается подобная группа. Вообще, если совокупность некоторых матриц образует группу, то совокупность подобных матриц при любой фиксированной матрице U также образует группу. Это нетрудно непосредственно доказать из определения группы, что мы и предлагаем проделать читателю. Вторая группа называется обычно подобной первой.

Рассмотрим тетраэдр, поверхность которого состоит из четырех равносторонних треугольников и имеет четыре вершины. Возьмем какую-нибудь ось тетраэдра, соединяющую его вершину А с центром противолежащей грани. Тетраэдр совместится сам с собою, если повернем пространство вокруг упомянутой оси в некотором направлении на угол Пусть эти вращения. Далее вводим три линейных преобразования при которых тетраэдр совмещается сам с собою, а его вершина А совпадает с одной из остальных трех его вершин. Наряду с вращениями составим девять вращений Полученные 12 вращений различны, и это суть все вращения, при которых тетраэдр переходит в себя.

Рассмотрим теперь икосаэдр, поверхность которого состоит из 20 равносторонних треугольников и имеет 12 вершин. Возьмем, как и выше, какую-нибудь ось икосаэдра, соединяющую его вершину А с противоположной вершиной. Икосаэдр совместится сам с собою, если повернем пространство на угол . Пусть эти вращения. Далее имеем 11 вращений при которых икосаэдр совмещается сам с собою, а вершина А переходит в одну из остальных вершин.

Полная группа вращений, при которых икосаэдр переходит в себя, состоит из пяти вращений и 55 вращений Таким образом, группа содержит 60 вращений. Такой же будет и группа додекаэдра, поверхность которого состоит из 12 правильных пятиугольников и содержит 20 вершин. Чтобы убедиться в надо расположить додекаэдр относительно икосаэдра так же, как это выше мы сделали для куба относительно октаэдра.

Рассмотрим еще одну группу, состоящую из вращений трехмерного пространства. Пусть в плоскости XY находится правильный -угольник, центр которого совпадает с началом координат. Возьмем какую-нибудь ось -угольника, соединяющую его вершину А с противоположной вершиной (если — четно), или с серединой противоположной стороны (если — нечетно). При вращении плоскости XY вокруг этой оси на угол , -угольник совмещается сам с собою. Первое вращение есть тождественное преобразование а второе мы обозначим через

Кроме того, мы имеем вращения вокруг оси Z на угол — при которых -угольник тоже совмещается сам с собою, а его вершина А переходит в одну из других вершин. При получаем тождественное преобразование Полная группа преобразований, при которых -угольник переходит в себя, будет состоять из следующих преобразований: .

Указанный -угольник, поверхность которого считается дважды (верх и низ), называется обычно диэдром, а построенная группа — группой диэдра.