68. Линейные представления унитарной группы с двумя переменными.

Рассмотрим линейные представления унитарной группы с двумя переменными. Эта группа, как мы знаем, имеет вид:

где комплексные числа а и b должны подчиняться условию

Построим величин:

Если мы возьмем и подставим вместо их выражения (93), то, очевидно, каждое выразится линейно через и, следовательно, всякому преобразованию из группы (93) будет соответствовать линейное преобразование от переменных к переменным Очевидно, что произведению преобразований будет соответствовать произведение преобразований, и мы будем иметь, таким образом, линейное представление группы (93) порядка . Но, как оказывается, это представление не будет унитарным. Чтобы построить унитарное представление, достаточно в каждое из переменных (95) ввести некоторый дополнительный постоянный множитель, и именно вместо формул (95) мы определим переменные по следующим формулам:

и точно так же:

где, как всегда, считается

Проверим, что при таком определении переменных наше представление будет унитарным, т. е. что

Действительно, применяя формулу бинома Ньютона, имеем:

и точно так же

Но, в силу унитарности преобразования (93),

и, следовательно, имеет место и соотношение (97).

Выведем теперь формулы, которые дают в явном виде коэффициенты построенного унитарного представления группы (93). С эгой целью несколько изменим предыдущее обозначение, а именно положим:

В наших прежних обозначениях и число j будет целым, если — четно, и будет равно половине целого нечетного числа, если — нечетное число. Если, например, то формулы (98) дают нам следующие шесть переменных:

В данном случае наши переменные пронумерованы не первыми шестью целыми числами, а дробными числами, которые отличаются друг от друга на единицу и идут от до Если, например, то мы имеем по формулам (93) пять переменных:

Здесь нумерация переменных совершается целыми числами от до . При всяком фиксированном будем иметь совершенно такую же нумерацию строк и столбцов в матрицах, которые будут давать линейное представление порядка группы (93).

Перейдем теперь к определению элементов этих матриц. Мы имеем:

и нам надо представить правую часть в виде линейной комбинации величин Применение формулы бинома Ньютона дает:

Если мы будем считать когда есть целое отрицательное число, то можем в предыдущей формуле производить суммирование по от до ибо лишние слагаемые будут содержать в знаменателе множитель, равный бесконечности, и обратятся в нуль.

Введем вместо новую переменную суммирования по которой тоже можно производить суммирование от до по целым значениям или по половинам целых значений, смотря по тому — будет ли целым числом или половиной целого числа. Мы получаем таким образом

Но, согласно (98), мы имеем:

й окончательно получаем искомую линейную зависимость в следующем виде:

Таким образом, при заданном фиксированном j элементы матрицы линейного преобразования порядка соответствующего унитарному преобразованию (93) с матрицей

будут:

Здесь значки и s пробегают следующий ряд значений:

причем напомним еще раз, что если j есть половина целого числа, то это дает нумерацию строк и столбцов матриц также по половинам целых чисел. Принимая во внимание, что если есть целое отрицательное число, мы получаем следующие пределы суммирования по k в формулах (99):

Отметим некоторое упрощение в формулах (99), которого можно достигнуть, переходя к подобному представлению. Пусть А — некоторая матрица с элементами и пусть диагональная матрица.

Применяя обычное правило умножения, нетрудно проверить, что матрица будет иметь следующие элементы:

Если мы применим теперь это правило для матрицы

и примем , то в формулах (99) исчезнет множитель и в дальнейшем мы будем считать, что этот множитель отсутствует.

Перейдем теперь к доказательству того, что линейное представление унитарной группы (93), определяемое матрицей с элементами (99), будет неприводимым: Предварительно докажем две леммы.

Лемма I. Если некоторая диагональная матрица, все диагональные элементы которой попарно различны, коммутирует с матрицей А, то А есть также диагональная матрица.

По условию мы имеем:

где числа попарно различны. Пусть элементы матрицы А. Применяя правило умножения, мы получим из предыдущего условия:

и, следовательно, если , т. е. матрица А — действительно диагональная матрица.

Лемма II. Если некоторая диагональная матрица коммутирует с матрицей А, в которой по крайней мере один столбец не содержит ни одного нуля, то .

Переставляя строки и столбцы, т. е. переходя к подобным матрицам, мы можем достигнуть того, чтобы столбец, не содержащий нулей, стоял на первом месте. При этом диагональная матрица остается по-прежнему диагональной, и наши матрицы по-прежнему будут коммутировать. Таким образом, мы можем считать, обозначая через элементы матрицы А, что

и, кроме того, по условию, как и выше:

откуда имеем и, следовательно, лемма доказана.

Переходим теперь к доказательству неприводимости линейного представления, определяемого матрицами (99). Пусть У есть некоторая матрица порядка которая коммутирует со всеми матрицами

получающимися при различных а и b, удовлетворяющих условию (94). Для доказательства неприводимости нам надо показать, что У должна быть кратной единичной матрице. Рассмотрим сначала тот случай, когда . Эти комплексные числа удовлетворяют, очевидно, условию (94).

Пользуясь формулами (99), мы получаем прежде всего, что при

а диагональные элементы будут в данном случае

и наша матрица будет иметь вид:

т. е. это диагональная матрица с различными элементами на главной диагонали, при подходящем выборе а. Пользуясь первой леммой, мы можем утверждать, что матрица У, которая должна коммутировать и с матрицей (101), также должна быть диагональной матрицей, т. е.

Рассмотрим теперь тот случай, когда числа а и b оба отличны

от нуля, и возьмем первый столбец матрицы Его элементы определятся по формулам (99), если мы там положим . Неравенства (100) даюг при этом:

откуда видно, что в данном случае вся сумма, входящая в формулу (99), приведется к одному слагаемому, которое получится при и будет отлично от нуля. Таким образом, в данном случае действительно первый столбец матрицы не содержит нулей.

Но раз диагональная матрица (102) должна коммутировать и с такой матрицей, то, согласно лемме И, все числа одинаковы, т. е. Y кратна единичной матрице. Итак матрицы дают, действительно, неприводимое линейное представление унитарной группы (93). Придавая j ряд значений

получаем бесчисленное множество этих линейных представлений. При получается тривиальное тождественное представление, при котором всякому элементу группы (93) соответствует число единица. Рассмотрим теперь при каким преобразованиям группы (93) соответствует тождественное преобразование в группе представлений которое определяется равенствами или, что то же, равенствами

Полагая получаем хоткуда следует, что и предыдущее тождество записывается в виде:

откуда Но при и последнее равенство переписывается в виде:

Если j — половина нечетного числа, то мы можем положить что дает Если j — целое число, то равенства сводятся к одному откуда .

Таким образом, если j — половина нечетного числа, то тождественное преобразование в группе соответствует только тождественному преобразованию в группе (93), т. е. в этом случае будет биоднозначным представлением группы

Если же у — число целое, то тождественному преобразованию в группе соответствуют в группе (93) два преобразования с матрицами

Эти преобразования образуют циклическую группу второго порядка, является биоднозначным представлением дополнительной группы [68]. Иначе можно сказать, что всякому преобразованию в представлении при целом j соответствуют два преобразования из группы (93), у которых числа а и b отличаются лишь знаком.