78. Регулярное представление группы.
Мы уже указывали прием представления любой конечной группы при помощи групп перестановок. Всякую группу перестановок мы можем изобразить как группу преобразований.
Действительно, если имеется, например, перестановка
то ее можно записать в виде линейного преобразования, при котором 
переходит в 
Рассмотрим следующее представление группы G группой перестановок. Умножаем элементы 
справа на некоторый элемент 
Это приводит к некоторой перестановке элементов, т. е. в силу сказанного выше, к некоторой матрице 
которая и считается соответствующей элементу Это представление называется обычно регулярным представлением группы G Один из элементов 
есть единичный элемент группы, который мы, как всегда, будем обозначать буквою В. Этому элементу соответствует единичная матрица 
и, следовательно, след этой матрицы равен 
, т. е. 
. При умножении элементов 
на любой элемент 
ни один элемент 
не остается на месте, т. е. в соответствующей матрице все диагональные элементы равны нулю, и в регулярном представлении 
при 
.
Положим, что при приведении регулярного представления оно содержит представление о котором мы говорили выше, 
раз. Мы имеем при этом, в силу сказанного выше:
Умножая обе части этого равенства на 
и суммируя по s, получим в силу (163) и (164):
но 
равно порядку матриц в представлении 
который мы обозначим через 
откуда 
и формула (176) может быть переписана в виде:
Мы приходим таким образом к следующей теореме:
Теорема 6. Регулярное представление содержит каждое неприводимое представление k) число раз, равное порядку матриц 
в представлении и для характеров представлений 
имеет место формула (177).
Напишем теперь формулу (174) для представлений 
и просуммируем 
от 
до 
Принимая во внимание (177), получим:
т. e. в силу (175):
Составим l линейных однородных уравнений относительно 
и покажем, что полученная система имеет только нулевое решение.
Действительно, умножая обе части (179) на 
и суммируя по k, получим 
причем 
может быть любым числом из ряда 
. Поскольку система (179) имеет только нулевое решение, число уравнений в этой системе не меньше числа неизвестных, т. е. 
. Раньше мы доказали неравенство 
, откуда следует 
, т. е.:
Теорема 7. Общее число неэквивалентных, неприводимых представлений конечной группы G равно числу классов этой группы.
Выясним еще одно следствие теоремы 6. Регулярное представление группы G состоит из матриц порядка 
. С другой стороны, в силу теоремы 6, оно содержит 
раз каждое представление состоящее из матриц порядка 
Отсюда сяедует равенство
что можно формулировать следующим образом:
Теорема 8. Сумма квадратов порядков неэквивалентных, неприводимых представлений 
равна порядку группы G.
