5. Примеры.

I. Пусть требуется вычислить объем параллелепипеда, три ребра которого, выходящих из одной вершины, суть векторы А, В и С. Как известно [II, 117], искомый объем выражается скалярным произведением вектора А на векторное произведение (В X С):

При этом объем получается со знаком плюс, если векторы А, В, С дают ту же ориентировку, что координатные оси, и со знаком минус, если упомянутые ориентировки различны. Составляющие векторного произведения равны

и таким образом скалярное произведение, входящее в формулу (24), будет:

Нетрудно видеть, что эта последняя сумма представляет собою определитель третьего порядка, т. е.

Равенство нулю этого определителя будет нам показывать, что объем равен нулю, иначе говоря, что наши три вектора компланарны, т. е. находятся в одной плоскости. Если мы в определителе переставим две строки (столбца), например первую и вторую, то этим самым порядок векторов А, В, С заменится другим порядком В, А, С и если векторы в прежней последовательности давали ту же ориентировку, что координатные оси, то теперь они будут давать уже иную ориентировку, и наоборот. В соответствии с этим величина определителя изменит знак.

Если аналогичным образом в плоскости XV рассмотрим два вектора с сотавляющими то площадь параллелограмма, построенного на этих двух векторах, будет равна определителю второго порядка:

Рассмотрим теперь треугольник, координаты вершин которого суть

Берем векторы с составляющими:

и площадь нашего треугольника может быть выражена в виде:

Нетрудно показать, что написанный определитель второго порядка можно заменить определителем третьего порядка и написать формулу в следующем виде:

Равенство нулю этого определителя дает условие того, что точки находятся на одной прямой. Иначе говоря, уравнение прямой, проходящей через две заданные точки может быть написано в виде:

II. Нетрудно - составить, пользуясь определителями, уравнения некоторых геометрических мест. Пусть, например, ищется уравнение окружности, проходящей через три заданные точки: Легко видеть, что это уравнение запишется, при помощи определителя четвертого порядка, следующим образом:

Действительно, разлагая по элементам первого столбца, убеждаемся, что написанное уравнение есть уравнение второй степени, в котором коэффициенты при одинаковы, и член с произведением отсутствует, т. е. уравнению (26) соответствует окружность.

Наконец, если мы в этом уравнении подставим то первый столбец определителя будет совпадать с одним из следующих, и уравнение будет удовлетворено, т. е. окружность действительно проходит через три данные точки. Заметим, что если три заданные точки находятся на одной прямой, то в уравнении (26) коэффициент при окажется равным нулю, и уравнению будет соответствовагь не окружность, а прямая.

Совершенно так же уравнение плоскости в пространстве с осями ОХ, ОY, OZ, проходящей через три заданные точки может быть написано в виде определителя четвертого порядка:

Если три заданные точки лежат на одной прямой, то уравнение (27) превратится в тождество

Рассмотрим определитель порядка каждая строчка которого сосюит из степеней некоторого числа, начиная с степени и до нулевой включительно:

При и 2 будем иметь:

Для раскрытия определителя мы заменим в первой строчке этого определителя число буквой Получим определитель вида:

Разлагая его по элементам первой строки, видим, что есть полином второй степени от

Если подставить в определитель или то первая строка станет одинаковой со второй или третьей, и величина определителя будет нуль, т. е. квадратный трехчлен имеет корни и может быть представлен в виде:

где есть коэффициент при т. е. алгебраическое дополнение элемента определителя стоящего в левом верхнем углу. Отсюда следует

т. е. есть определитель составленный из чисел Окончательно:

Подставляя получим для выражение в виде произведения трех множителей:

Совершенно аналогично, имея выражение можно получить выражение для Оно будет иметь вид произведения шести множителей:

Точно так же, при любом получим следующее выражение для определителя который обычно называется определителем Вандермонда:

Написанное выражение имеет интересную связь с основным определением определителя. Любой определитель порядка может быть записан в виде:

Заменим в нем чисто формально каждый элемент на После такой замены определитель (30) перейдет, очевидно, в определитель Вандермонда (28).

Отсюда вытекает непосредственно следующее правило образования суммы, дающей величину определителя (30): в выражении (29) открываем скобки и в каждом из полученных после этого членов заменяем на причем, если такой член не содержит степени некоторого числа то в соответствующем произведении надо добавить множитель который после упомянутой замены перейдет в Заметим, что это последнее правило может быть принято за определение определителя.

IV. Рассмотрим выражение, с которым нам придется иметь дело в последующем:

и разложим его по степеням буквы Для этого перепишем его предварительно в следующем виде:

Каждый из столбцов этого определителя есть сумма двух слагаемых, и, применяя несколько раз свойства IV определителя, мы представим его в виде суммы определителей, столбцы которых уже не содержат сумм. Если во всех столбцах выражения (32) вычеркнуть вторые слагаемые, то мы получим член, не содержащий буквы т. е. свободный член в разложении

Наоборот, если вычеркнуть во всех столбцах первые слагаемые, то получится старший член полинома равный

Рассмотрим теперь средние члены полинома. Положим, что в столбцах с номерами мы удерживаем вторые слагаемые, а в остальных столбцах — первые слагаемые. При этом каждый столбец с номером будет состоять сплошь из нулей, кроме одного элемента, равного и стоящего на главной диагонали, т. е. на пересечении строки и столбца с одинаковым номером. Разлагая полученный определитель последовательно по элементам столбцов мы от этих столбцов получим множитель и должны будем вычеркнуть строки с номерами и столбцы с такими же номерами. После каждого такого вычеркивания алгебраические дополнения соответствующего элемента будут равны в точности минорам, ввиду совпадения номера вычеркиваемой строки и столбца. Итак, при любом выборе номеров столбцов наш определитель будет содержать с коэффициентом, равным определителю порядка , получаемому из основного определителя (33) вычеркиванием тех строк и столбцов, на пересечении которых стоят элементы главной диагонали Обозначим этот определитель порядка символом Он называется обычно главным минором определителя А, порядка . Выбирая числа различным образом, получим в общем окончательный коэффициент при в выражении в виде суммы всевозможных главных миноров порядка т. е.

где есть сумма всех главных миноров определителя А порядка k и, в частности, равно А. Напишем явное выражение для коэффициента

Здесь суммирование распространяется на всевозможные комбинации из k чисел идущих в возрастающем порядке и взятых среди чисел . Если бы мы стали суммировать в выражении (34) по каждому значку просто по всем значениям от 1 до , то в перестановке целые числа шли бы не только в возрастающем порядке, на и во всех других возможных порядках.

Точнее говоря, всякая возрастающая последовательность при суммировании по всем от 1 до дала бы всего перестановок. Заметим теперь, что при перестановке каких-нибудь двух чисел величина определителя, стоящего в формуле (34), не изменится. Действительно, если мы переставим, например, то, тем самым, в упомянутом определителе переставятся первая и вторая строки и первый и второй столбец, что не повлияет на величину определителя. Таким образом из предыдущего следует, что если мы в выражении (34) будем суммировать по каждому из чисел просто от 1 до то каждое слагаемое суммы (34) повторится раз, и, следовательно, мы можем написать выражение коэффициента в виде: