75. Разбиение композиции линейных представлений группы вращения.

Возвратимся сейчас к тому, что мы говорили в [73]. Мы видели там, что если рассмотрим уравнение Шредингера для двух электронов и будем пренебрегать взаимодействием электронов, то собственные функции уравнения Шредингера будут давать линейное представление группы вращения, которое получается путем композиции двух линейных представлений группы вращения. Результаты предыдущего номера показывают, что представляется важным уметь разбить такое линейное представление на неприводимые части. В настоящем номере мы и займемся этим вопросом. Задача математически формулируется следующим образом. Пусть имеются два неприводимых представления группы вращения. Составим их композицию которая также будет давать [73] некоторое линейное представление группы вращения. Требуется выделить те неприводимые части, из которых это представление состоит.

Объектами линейного представления порядка будут величины

и объектами линейного представления будут величины

причем подвергаются одинаковым унитарным преобразованиям с определителем

Если мы составим величин

то эти величины будут объектами в том линейном представлении группы вращения, которое определяется композицией

В дальнейшем мы будем считатьу или целым числом, или половиной целого числа, т. е., строго говоря, будем линейные представления унитарной группы с двумя переменными и определителем, равным единице.

Пусть k — целое число (или половина целого числа), удовлетворяющее неравенству

Покажем, что мы можем составить из величин (144) такие линейные комбинации, числом которые дают линейное представление группы вращения.

Составим для доказательства этого утверждения выражение вида:

где некоторое фиксированное целое число, удовлетворяющее неравенствам:

Если переменные претерпевают одно и то же линейное преобразование

С определителем , то нетрудно видеть, что первый из множителей выражения (146) остается неизменным. Действительно,

Выражение (146) есть, очевидно, однородный лолином от степени . Он состоит, следовательно, из членов вида:

Вводя обозначение

мы можем написать выражение (146) следующим образом:

Коэффициенты будут зависеть от переменных

Из выражения (146) непосредственно следует, что есть однородный полином, от степени и однородный полином от степени будет состоять из слагаемых вида:

или, принимая во внимание (142) и (143), мы можем утверждать, что будет линейной комбинацией произведений

где коэффициенты не содержат уже Заметим, что в выражении (146) переменные их и входят только или в соединении с множителем или в первом из множителей (146), причем этот первый множитель дает сумму показателей равную . Принимая во внимание, что содержит мы можем утверждать, что в слагаемых суммы (151) сумма показателей будет или, в силу (148), эта сумма показателей будет содержит содержит и отсюда непосредственно следует, что каждое из выражений (151) содержит лишь те произведения для которых Покажем теперь, что линейные комбинации (151) величин как раз и дают линейное представление группы вращения, эквивалентное .

Предварительно напомним определение контраградиентного преобразования. Если имеются два линейных преобразования

то для выполнения равенства

необходимо и достаточно, чтобы В было контраградиентно с и .

Положим, что переменный одновременно подвергаются некоторому унитарному преобразованию А с определителем Положим, что переменные подвергаются при этом преобразованию контраградиентному преобразованию А. Из определения контраградиентного преобразования следует, что при этом суммы

остаются неизменными. Кроме того, как мы показали выше, и первый множитель в выражении (146) остается неизменным при указанном преобразовании наших переменных. Таким образом, и вся сумма L останется неизменной, т. е., иначе говоря, в силу (150), переменные - испытают преобразование В, контраградиентное тому преобразованию С, которое испытают переменные .

Введем новые переменные

Применяя формулу бинома Ньютона, можем написать:

Левая часть последнего выражения остается инвариантной при наших преобразованиях, и, следовательно, то же можно сказать и о правой части, т. е. переменные подвергаются тому же самому преобразованию В, контраградиентному преобразованию С, что и переменные мы знаем, что переменные как раз и дают нам линейное представление группы вращения, если суть объекты унитарной группы с определителем Следовательно, наше утверждение доказано.

Мы можем таким образом из переменных (144), которые толкуем как составляющие некоторого вектора в пространстве с измерениями, составить линейные комбинации числом которые дают линейное представление группы вращения. Принимая во внимание формулу (148) и неравенства (147), мы видим, что числу k можем придавать следующие значения:

Подсчитаем теперь, сколько всего линейных комбинаций из величин (144) нам придется составить. Для определенности будем предполагать, что Упомянутое общее число линейных комбинаций будет:

Это есть сумма арифметической прогрессии с числом членов

и общее число линейных комбинаций будет , т. е. будет равно числу величин (144). Тот же результат получился бы и при условии . Полагая для краткости

обозначим упомянутые выше линейные комбинации величин (144) следующим образом:

причем будем считать, что эти линейные комбинации расположены в том порядке, который дает линейные представления где k имеет значения (152). В результате некоторого унитарного преобразования с определителем над переменными мы получим новые значения переменных (144) и новые значения переменных (153), причем выражаются через при помощи квазидиагональной матрицы

и каждое соответствует тому унитарному преобразованию, которому мы подвергли Дальше покажем, что линейные формы (153) величин (144) между собой линейно-независимы. Пусть Т — матрица того линейного преобразования, при помощи которого выражаются через переменные (144). Прямое произведение есть матрица линейного преобразования для переменных (144), и мы имеем в силу предыдущего:

что и дает разложение прямого произведения на неприводимые части. Предыдущую формулу обычно записывают следующим образом:

Напомним, что каждое определяется унитарным преобразованием и полностью записывается так: Предыдущий результат обобщается и на случай нескольких сомножителей. Так, например, мы можем написать:

Сама матрица есть матрица третьего порядка [68]. Прямое произведение будет матрицей девятого порядка, и, наконец, прямое произведение будет матрицей двадцать седьмого порядка. Предыдущая формула показывает, что эта матрица эквивалентна при всяком выборе унитарного преобразования квазидиагональной матрице

Порядок этой последней матрицы равен [68]:

Обратимся теперь к доказательству линейной независимости как линейных форм от величин (144). Величины в прежних обозначениях суть величины но только надо принять во внимание, что при построении мы можем брать различные значения k или, что то же, различные значения так что правильнее было бы писать Как мы видели выше, всякое выражаетсятолько через те величины для которых . Отсюда непосредственно вытекает, что линейно-зависимыми могут оказаться лишь ПРИ различных но одинаковых Открывая в выражении (146) скобки в двух последних множителях и собирая члены при , где k определяется формулой (148), мы и получим с точностью до постоянного множителя выраженные через . Они будут, очевидно, произведениями на некоторый полином от и с целыми положительными коэффициентами. Нетрудно видеть, что такие выражения не могут быть при различных I линейно-зависимыми. Предположим, например, что мы имеем линейную зависимость вида:

где и некоторые постоянные, отличные от нуля.

Написанное соотношение должно выполняться тождественно при всяких . Положим, например, . В силу сказанного выше о форме выражений мы получим соотношение вида

где полиномы от с целыми положительными коэффициентами. Деля предыдущее соотношение на (их — 1) и полагая затем получим что противоречит сказанному выше и доказывает таким образом невозможность линейных соотношений.

Раскрывая скобки в выражении (146), мы могли бы, конечно, и фактически построить выражения через переменные (144).