3. Основные свойства определителя.

I. Формулируем прежде всего только что доказанное свойство — величина определителя не меняется при замене строк столбцами. В дальнейшем все, что будет доказано для столбцов, будет годиться и для строк и наоборот.

II. В предыдущем номере мы видели, что перестановка двух столбцов меняет лишь знак у определителя, то же относится и к строкам, т. е. при перестановке двух строк (столбцов) между собой величина определителя меняет лишь знак.

III. Если определитель имеет две одинаковые строки, то, переставляя их, мы, с одной стороны, ничего не изменим, а с другой стороны, по доказанному переменим знак определителя, т. е., обозначая через А величину определителя, или .

Итак, определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

IV. Линейной однородной функцией переменных называется полином первой степени этих переменных без свобод ного члена, т. е. выражение вида:

где коэффициенты не зависят от . Такая функция обладает двумя очевидными свойствами:

Последнее свойство имеет место и для любого числа слагаемых. Обращаясь к формуле (8), мы видим, что каждое слагаемое написанной суммы содержит множителем один и только один элемент из каждой строки. Отсюда следует, что определитель есть линейная однородная функция элементов какой-нибудь строки (или какого-нибудь из столбцов).

Следовательно, если все элементы некоторой строки (столбца) содержат общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

Величина определителя, соответствующего таблице (6), часто обозначается, как мы уже указывали выше, в виде:

или, более коротко:

Доказанное свойство можно в частном случае записать, например, в виде

Второе из указанных свойств линейных однородных функций дает следующее свойство определителя: если элементы некоторой строки (столбца) суть суммы равного числа слагаемых, то определитель равен сумме определителей, в которых элементы упомянутой строки (столбца) заменены отдельными слагаемыми.

Так, например:

Отметим еще одно очевидное следствие линейности и однородности. Если все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю, то и определитель равен нулю.

V. Если из таблицы (6) вычеркнуть строку и столбец, на пересечении которых находится элемент то останется строк и столько же столбцов. Соответствующий определитель порядка называется минором основного определителя порядка, соответствующим элементу Обозначим его через и составим произведение

и назовем его алгебраическим дополнением элемента Покажем теперь, что эти алгебраические дополнения являются коэффициентами той линейной однородной функции, о которой мы говорили в предыдущем свойстве, т. е., что для любой строки имеет место формула:

и для любого столбца формула:

где — величина определителя. Иначе говоря, мы должны показать, что если в сумме (8) мы соберем все члены, содержащие некоторый определенный элемент то коэффициентом при этом элементе будет его алгебраическое дополнение определяемое формулой (17). Обозначим предварительно этот коэффициент через и заметим прежде всего, что этот коэффициент представляет собою сумму произведений из элементов, причем эти произведения не содержат уже элементов строки и столбца.

Возьмем сначала случай и выпишем те слагаемые суммы (8), которые содержат элемент

Здесь суммирование должно распространяться на всевозможные перестановки из чисел .

В полной перестановке первый элемент единица по отношению ко всем следующим находится в порядке, а потому для числа беспорядков мы имеем:

причем за основную перестановку в обоих случаях берется та, где числа идут в возрастающем порядке. Мы имеем, таким образом, следующее выражение для коэффициента при

Эта сумма подходит под определение определителя, но только по сравнению с исходным определителем отсутствуют первая строка и первый столбец. Отсюда видно, что т. е. при наше утверждение доказано. Перейдем к случаю любых i и k. Будем переставлять строку постепенно с более высокими строками гак, чтобы она попала на место первой строки. Для этого придется сделать перестановок строк. Совершенно так же постепенной перестановкой приведем сюлбец на место первого столбца. После этих перестановок элемент попадет в левый верхний угол на место элемента Строка с номером и столбец с номером k окажутся на первом месте, а порядок остальных строк и столбцов не изменится. Полученный выше результат показывает, что после упомянутых перестановок коэффициент при будет равен Но нам пришлось применить перестановок строк и столбцов попарно, и каждая такая перестановка добавляет множитель (- 1) к определителю, т. е. в общем мы добавили множитель и, следовательно, окончательное выражение для коэффициента будет:

что и требовалось доказать. Таким образом мы доказали формулы (18) и (19). Если мы в определителе А заменим элементы строки последовательно некоторыми числами не меняя остальных строк, то в формуле (18) множители не изменятся, и величина нового определителя будет

В частности, если мы возьмем числа равными элементам другой строки с номером у, отличным от и то определитель А будет иметь две одинаковые строкд и его величина будет равна нулю: т. е.

Точно так же для столбцов:

Формулы (19) и приводят нас к следующему важному в дальнейшем свойству определителя.

Если элементы некоторой строки (столбца) умножить на их алгебраические дополнения и эти произведения сложить, то получится величина определителя. Если же элементы некоторой строки (столбца) умножить на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) и эти произведения сложить, то сумма будет равна нулю.

VI. Прибавим к элементам первой строки определителя А элементы второй строки, умноженные на некоторый множитель . Элементы первой строки станут равными , и в силу свойства IV новый определитель будет суммою двух определителей: прежнего определителя и второго определителя, у которого первая строка состоит из элементов , а остальные строки одинаковы с А. Вынося из первой строки получим одинаковые первую и вторую строки, следовательно, величина этого второго определителя равна нулю, т. е. вообще величина определителя не изменится, если к элементам некоторой строки (столбца) добавить соответствующие элементы другой строки (столбца), предварительно умножив эти последние на один и тот же множитель.

Укажем некоторые обозначения, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем. Пусть, как и выше, имеется квадратная таблица чисел (6) и пусть l — целое положительное число, не большее, чем . Введем следующее обозначение определителя порядка составленного из строк таблицы (6) с номерами и столбцов с номерами

При этом обычно определителем первого порядка, соответствующим какому-либо числу а, называют само это число, т. е. Последовательности целых положительных чисел могут быть расположены и не в порядке возрастания чисел Если в обеих этих последовательностях числа идут в возрастающем порядке, то определитель (22) называется минором порядка l определителя (8). Этот определитель (22) получается из (8) вычеркиванием () строк и () столбцов. Пусть номера этих вычеркнутых строк и столбцов в возрастающем порядке суть: . Минор

называется минором, дополнительным к минору (22), а выражение:

называется алгебраическим дополнением минора (22). Для отдельного элемента это определение алгебраического дополнения совпадает с прежним определением (17).

Алгебраическое дополнение обозначим через

Оно вполне определяется заданием определителя (22), т. е. заданием последовательностей номеров его строк и столбцов

Фиксируем номера строк. Величина определителя А является, очевидно, однородным полиномом степени I элементов этих строк, и она выражается, как можно доказать, формулой (теорема Лапласа):

где суммирование проводится по всевозможным возрастающим последовательностям чисел взятых из последовательности . Число слагаемых в сумме (23) равно числу сочетаний из элементов по I:

поскольку порядок чисел не играет роли, ибо они берутся при составлении суммы (23) только в возрастающем порядке. При мы имеем переходит в формулу (18) при Легко построить формулу, аналогичную (23) и соответствующую разложению А по элементам каких-либо выбранных столбцов. Мы не будем в дальнейшем пользоваться формулой (23) и не приводим ее доказательства.