54. Преобразования Лоренца.

Все примеры групп линейных преобразований, которые мы приводили выше, состояли из унитарных преобразований или из вращений трехмерного пространства (частный случай унитарных преобразований). Сейчас мы изучим некоторую новую группу линейных преобразований, элементы которой уже не являются унитарными преобразованиями. Эта группа играет важную роль в принципе относительности, электродинамике и той части квантовой механики, которая связана с принципом относительности.

Рассмотрим четыре переменные из которых первые три суть пространственные координаты точки, а последняя переменная есть время. В связи с основным требованием специального принципа относительности о неизменности некоторой определенной скорости с (скорость света) в случае относительного движения, возникает вопрос о таких линейных преобразованиях упомянутых выше четырех переменных, при которых выражение

остается неизменным, т. е., подробнее говоря, мы должны найти такие линейные преобразования, выражающие новые переменные через прежние чтобы имело место тождество:

Рассмотрим сначала тот случай, когда координаты остаются неизменными, и в линейном преобразовании участвуют лишь переменные . Мы должны, таким образом, найти такие линейные преобразования

чтобы

Введем вместо новую чисто мнимую переменную согласно формуле

Искомые линейные преобразования должны иметь вид:

где

а условие (12) переписывается при этом следующим образом:

Коэффициенты должны быть вещественными, а чисто мнимыми. Обозначим поэтому Условие (14) равносильно, очевидно, условию ортогональности преобразования (13), и, следовательно, сумма квадратов элементов каждой строки и столбца должна равняться единице. Это сразу дает . Положим . Будем считать положительными коэффициенты что соответствует неизменности в направлении отсчета Мы получим таким образом вместо (13) в силу предыдущих соотношений:

Условие ортогональности строк

даст нам , т. е. (312 и 21 должны быть противоположных знаков. Наконец, условие

даст

и окончательно мы приходим к следующим формулам:

или, возвращаясь вновь от переменной к прежней переменной

Из этих равенств непосредственно следует, что координатная система, которой соответствуют переменные со штрихами, двигается по отношению к первоначальной координатной системе со скоростью

в направлении оси Действительно, если принять постоянным, то получим:

Вводя вместо скорость v согласно формуле (16) и заменяв на на t, получим обычную форму преобразования Лоренца с двумя переменными

В предельном случае при мы получаем обычные формулы относительного движения классической механики

Нетрудно проверить, что преобразования Лоренца (17), зависящие от одного вещественного параметра v, образуют группу. Решая уравнения (17) относительно получим преобразование, обратное (17). Покажем, что это будет то же преобразование Лоренца, которое получается из преобразования (17) заменой v на Действительно, решая уравнения (17), будем иметь:

откуда непосредственно следует

Рассмотрим теперь два преобразования Лоренца соответствующих значениям параметра

Составим их произведение и покажем, что это тодее будет преобразование Лоренца. Нам надо составить произведение из двух матриц

где

Применяя обычные правила умножения матриц, получим для произведения следующую матрицу:

Введем новую величину

Нетрудно проверить справедливость тождества:

и в результате матрица (18) может быть написана в следующем виде:

т. е. ей соответствует также преобразование Лоренца со значением параметра Таким образом, формула (19) дает правило сложения скоростей в специальном принципе относительности. Если в формуле (19) положить то, как легко проверить, и для результирующей скорости мы будем иметь т. е. действительно скорость с не меняется при наложении двух движений.

При выводе формул (15) мы фиксировали определенным образом знаки коэффициентов линейного преобразования (11), считая коэффициенты положительными.

Можно заменить это требование другим, а именно: положительностью коэффициента и положительностью определителя

Нетрудно видеть, что отсюда, как следствие, получится и положительность коэффициента и наоборот. Действительно, определитель преобразования (17) равен т. е. при и определитель (20) положителен. Если бы мы взяли где , то получилось бы преобразование с определителем Условие положительности коэффициента равносильно тому, что при фиксированном со мы имеем Можно сказать, что это соответствует неизменности в направлении отсчета времени. Таким образом, формулы дают не все линейные преобразования, удовлетворяющие условию (12), но лишь те, для которых определитель (20) положителен и которые не меняют направления отсчета времени.

Обратимся теперь к рассмотрению общего преобразования Лоренца для случая четырех переменных причем должно быть выполнено условие:

Будем рассматривать как декартовы координаты в двух различных трехмерных пространствах R и Покажем, что, выбирая соответственным образом координатные оси в этих двух пространствах, мы можем привести общее преобразование Лоренца к тому частному случаю, который был нами рассмотрен выше. Обозначим через Т общее преобразование Лоренца и через частное преобразование Лоренца рассмотренного выше типа. Наше утверждение равносильно тому обстоятельству, что мы можем представить Т в виде

где - вещественные ортогональные преобразования, соответствующие упомянутым выше преобразованиям координат в пространствах R и

Введем, как и выше, четыре новые переменные:

и аналогичным образом:

Вместо условия (21) получим для новых переменных обычные условия ортогонального преобразования:

Искомое линейное преобразование будет иметь вид:

Принимая во внимание, что должны быть чисто мнимыми, мы можем утверждать, что коэффициенты при а также должны быть вещественными, а коэффициенты при должны быть чисто мнимыми. Перемена координатных осей в пространстве К равносильна вещественному ортогональному преобразованию над переменными Рассмотрим коэффициенты:

Три вещественных числа определяют некоторый вектор, и если мы направление этого вектора примем за новую первую ось пространства R, то в результате соответствующего ортогонального преобразования коэффициенты обратятся в нуль. Чтобы убедиться в этом, достаточно только заметить, что в силу формул (24) ортогональное преобразование над переменными сводится к такому же преобразованию над Итак, будем считать, что это преобразование координат в пространстве R уже совершено, так что мы имеем Условие (23) показывает, что коэффициенты преобразования (24) должны удовлетворять обычным условиям ортогонального преобразования. Принимая во внимание равенство нулю упомянутых выше коэффициентов, получаем, рассматривая вторую и третью строчки, следующие условия:

где все входящие коэффициенты вещественны. В силу написанных условий два вектора с составляющими будут единичными по длине и взаимно ортогональными по направлению. Если мы в пространстве R выберем эти два вектора за основные орты, направленные по осям и то две суммы

выражающие скалярные произведения упомянутых выше двух векторов на переменный вектор выразятся просто в виде , т. е. при таком выборе координатных осей мы будем иметь:

Таким образом, окончательно, при сделанном выборе осей в обоих пространствах матрица преобразования (24) будет иметь вид:

Эта матрица получилась в результате умножения первоначальной матрицы на два ортогональных преобразования, которые касались только первых [трех переменных, но которые можно, конечно, рассматривать и как ортогональные преобразования с четырьмя переменными, причем четвертая переменная остается без изменения. Принимая во внимание, что произведение двух ортогональных преобразований также должно быть ортогональным, мы можем утверждать, что элементы матрицы (25) также должны удовлетворять условию ортогональности. Написав условие ортогональности первой строки со второй и третьей, получим

и точно так же условие ортогональности четвертой строки со второй и третьей даст нам

В результате приходим к следующей матрице:

т. е. в данном случае мы имеем линейное преобразование

которое должно удовлетворять условию

Именно таким преобразованием мы и занимались выше, и оно нас и привело к специальным преобразованиям Лоренца вида (15), и, таким образом, формулу (22) можно считать установленной. Заметим только, что правило выбора знаков при определении преобразования 5 будет тем же самым, что и выше, если мы потребуем, чтобы общее преобразование Лоренца Т не меняло направления отсчета времени и имело определитель больше нуля. Ортогональные преобразования U и V мы всегда можем считать вращениями трехмерного пространства, так что и их определитель будет больше нуля, причем они вовсе не затрагивают четвертой переменной. Мы придем, таким образом, к необходимости того, чтобы у преобразования S определитель был больше нуля и чтобы это преобразование не меняло отсчета времени, т. е. при сделанном предположении относительно общего преобразования Т мы для частного преобразования придем как раз к тому условию, при котором формулы были выведены.

Общие преобразования Лоренца, удовлетворяющие поставленным выше двум условиям, называются обычно положительными преобразованиями Лоренца. Из предыдущих рассуждений следует, что соответствующие им матрицы получаются формуле (22), где 5 — специальное преобразование Лоренца вида (15), a U и V — матрицы вращения трехмерного пространства. Можно показать, что положительные преобразования Лоренца образуют группу, как и преобразования (15).

Предыдущие рассуждения показывают, что матрица наиболее общего преобразования Лоренца, определяемого лишь условием (21), может быть представлена по формуле (22), где U и -вращения и -общее преобразование Лоренца с Двумя переменными. Если это положительное преобразование, то из формул (15) непосредственно следует, что и определитель всякого положительного преобразования Лоренца будет также равен единице, поскольку определители U и V равны единице, причем матрицы и Y мы рассматриваем как матрицы четвертого порядка. В общем случае преобразования Лоренца второго порядка, как нетрудно показать, определитель может равняться и, следовательно, общее преобразование Лоренца также будет иметь определитель .