35. Классификация квадратичных форм.

Задачу о приведении квадратичной формы к сумме квадратов можно поставить и в более общем виде, чем это мы делали выше, не требуя обязательно, чтобы линейное преобразование

от новых переменных к старым было ортогональным, а именно мы можем поставить задачу следующим образом: требуется привести вещественную квадратичную форму (134) к виду:

где суть какие-нибудь линейно-независимых вещественных линейных форм переменных При такой постановке задачи коэффициенты не являются какими-либо определенными числами, как это мы имели выше, но мы можем все-таки высказать некоторое утверждение относительно этих коэффициентов, а именно: число этих коэффициентов, отличных от нуля, должно всегда равняться рангу таблицы, составленной из коэффициентов квадратичной формы. Иначе говоря, при любом приведении квадратичной формы к сумме квадратов линейных линейно-независимых форм число квадратов равно рангу упомянутой таблицы. Кроме того, имеет место и еще одно свойство, которое обычно называется законом инерции квадратичных форм, а именно: при любом преобразовании вещественной квадратичной формы к виду (156), где линейные формы также вещественны, число положительных коэффициентов (и число отрицательных коэффициентов ) будет всегда одним и тем же. Высказанные соображения будут нами доказаны в конце настоящего номера.

Поставленная общая задача о приведении квадратичной формы к виду (156) решается весьма просто выделением полных квадратов. Проведем это на частном примере:

Добавляя к членам слагаемые мы получаем полный квадрат и можем записать в виде:

Точно так же, выделяя еще один квадрат, мы приходим окончательно к представлению квадратичной формы в виде (156):

Линейные формы, стоящие в круглых скобках, будут, очевидно, линейно-независимыми.

В случае отсутствия в выражении квадратов переменных вычисление надо проводить несколько иначе. Пусть мы имеем:

где a — численный коэффициент, отличный от нуля, Р и Q — линейные формы переменных, не содержащие квадратичная форма, также не содержащая Мы можем написать:

Если положить: то получим:

и

то получим:

где квадратичная форма, не содержащая Выделив два квадрата, мы освободились от двух переменных.

Приведение квадратичной формы к виду (156) дает возможность естественной классификации гаких форм. Рассмотрим ряд случаев.

I. Положим, что все коэффициенты в формуле (166) положительны. В этом случае форма называется определенно положительной. Нетрудно показать, что она имеет положительные значения при всех вещественных значениях и может обращаться в нуль только тогда, когда все равны нулю. Действительно, для того чтобы правая часть формулы (156) обратилась в нуль, необходимо и достаточно, ввиду положительности всех чтобы все линейные формы были равны нулю. Мы получаем, таким образом, для систему однородных уравнений с определителем, отличным от нуля (формы линейно-независимы), и эта система имеет, следовательно, только нулевое решение.

II. Если все коэффициенты отрицательны, то квадратичная форма называется определенно отрицательной. Как и выше, можно показать, что она имеет при всяких вещественных только отрицательные значения, причем обращается в нуль только тогда, когда все равны нулю.

III. Рассмотрим теперь тот случай, когда среди коэффициентов есть равные нулю, а все не равные нулю определенного знака, например, положительны. В эгом случае мы будем иметь для формы представление вида:

где все положительны. Здесь опять значения нашей формы не могут быть отрицательными ни при каких значениях но могут равняться нулю и тогда, когда значения отличны от нуля. Действительно, чтобы получить нулевое значение формы, мы должны написать систему однородных уравнений для

и так как эта система наверно имеет решения, отличные от нулевого. Точно так же, если в формуле (155 все коэффициенты отрицательны, то квадратичная форма не может иметь положительных значений, но может обращаться в нуль и при значениях отличных от нуля.

В рассматриваемом случае форма называется знакопостоянной — положительной или отрицательной.

IV. Наконец, если среди коэффициентов формулы (156) имеются как положительные, так и отрицательные, то, как нетрудно видеть, квадратичная форма может принимать как положительные, так и отрицательные значения при вещественных значениях . В этом случае она называется знакопеременной.

Предыдущая классификация вещественных квадратичных форм имеет непосредственное приложение к задаче на maxima и minima функции от нескольких переменных. Пусть имеется функция независимых переменных :

причем при значениях выполнены необходимые условия maxima и minima, т. е. все частные производные от функции по независимым переменным обращаются в нуль. Разлагая нашу функцию в ряд Маклорена, будем иметь:

где через мы обозначили квадратичную форму переменных , а через — совокупность членов измерения выше второго относительно . Если квадратичная форма определенно положительна, то мы имеем минимум функции в точке . Если она определенно отрицательна, то мы имеем максимум. Если она знакопеременна, то мы не имеем ни минимума, ни максимума, и, наконец, если — знакопостоянная форма, то мы имеем дело с сомнительным случаем. Этот результат является естественным дополнением к тому, который мы имели в [I, 163] для случая функции от двух независимых переменных.

Переходим к доказательству предложений, высказанных в начале настоящего параграфа. Пусть имеется квадратичная форма:

причем есть ранг таблицы ее коэффициентов. Составим систему линейных форм:

При составлении выражений этих частных производных мы пользовались условиями . Число есть очевидно ранг системы форм (157) в смысле

Положим, что приводится к сумме квадратов линейно-независимых форм:

т. е.

где отличны от нуля. Нам надо доказать, что Пользуясь выражением (159), составим линейные формы (157):

Переменные могут принимать любые значения, поскольку формы линейно-независимы. Поэтому при определении линейной зависимости форм можно считать за независимые переменные, и наибольшее число линейно-независимых форм в системе должно быть равно рангу таблицы коэффициентов где номер столбца k принимает возможные значения: , и номер строки . Элементы каждого столбца этой таблицы содержат общий множитель отличный от нуля, и потому ранг таблицы совпадает с рангом таблицы Поскольку система форм (158) есть система линейно-независимых форм, этот ранг равен , т. е. наибольшее число линейно-независимых форм в системе или (157) равно . С другой стороны, по условию, это число равно , откуда и следует, что .

Покажем теперь, что при любом способе представления формулой вида (159), где вещественные линейно-независимые формы, число положительных и отрицательных коэффициентов всегда одно и то же. Будем доказывать это от противного. Положим, что мы имеем два представления формулам вида (159), причем число положительных коэффициентов в этих представлениях различно:

В этих формулах мы считаем положительными. Формы линейно-независимы, то же можно сказать о формах , то всегда можно считать, что, например, Покажем, что это приведет нас к нелепости. Присоединим к формам формы так, чтобы получилась полная система линейно-независимых форм [11]. Напишем систему линейных однородных уравнений для

Число этих однородных уравнений и так как то это число меньше . Следовательно, написанная однородная система имеет вещественные решения, отличные от нулевого. Возьмем какое-нибудь из этих решений: . При этих значениях мы будем иметь, в силу (161):

Отсюда видно, что при квадратичная форма должна обращаться в нуль, и, следовательно, кроме уравнений (161), должны удовлетворять уравнениям:

Окончательно получаем, что должны обращать в нуль все формы полной системы линейно-независимых форм: Но этого не может быть, поскольку в однородной системе относительно

определитель отличен от нуля, ибо формы линейно-независимы. Мы пришли к противоречию, что и доказывает закон инерции.