58. Классы и нормальный делитель.

Пусть - некоторые элементы группы. Элемент называется сопряженным элементу U. Нетрудно видеть, что и наоборот U будет сопряженным с W. Действительно, Два элемента сопряженные с одним и тем же третьим

будут сопряженными и между собой

Совокупность всех взаимно сопряженных элементов группы образует то, что называется классом группы. Класс вполне определяется одним своим элементом U. Действительно, задав мы получим весь класс по формуле где пробегает все элементы группы. Таким образом мы можем разбить всю группу на классы. Принимая во внимание основное свойство единичного элемента, формулированное нами в [56], мы имеем:

т. е. единичный элемент сам по себе составляет класс.

Если элемент U будет порядка , т. е. если есть наименьшее целое положительное число, при котором то и всякий сопряженный элемент имеет тот же порядок , что непосредственно следует из равенства:

Иначе говоря, все элементы одного и того же класса имеют одинаковый порядок. -

Заметим, что когда пробегает все элементы группы О, то произведение может давать элементы класса и по нескольку раз. Так, например, если , то, как мы видели, указанное произведение всегда дает

В качестве примера возьмем опять группу вращений октаэдра.

Пусть U есть вращение на угол вокруг некоторой оси октаэдра. Если вращение принадлежащее нашей группе октаэдра, преобразует ось l в ось причем вершина переходит в и вершина то элемент группы будет давать вращение на угол у вокруг оси Если, например, преобразует то упомянутое произведение будет давать вращение на угол y вокруг оси или, иначе говоря, вращение на угол вокруг оси Если преобразует ось в саму себя, т. е. есть поворот вокруг этой оси, то произведение совпадает с U.

Таким образом, в данном случае класс элементов, сопряженных с будет представлять собою совокупность вращений на угол вокруг осей октаэдра.

Совершенно так же, если мы возьмем группу вращений трехмерного пространства вокруг начала, то, как мы знаем, всякий элемент U этой группы будет представлять собою вращение на некоторый угол вокруг некоторой оси. В данном случае класс элементов, сопряженных с будет совокупностью вращений на угол вокруг всевозможных осей, проходящих через начало.

В тесной связи с понятием класса стоит и другое важное понятие, а именно: понятие о нормальном делителе, к гкоторому мы сейчас и переходим. Пусть Q — некоторая группа и подгруппа. Пусть некоторый фиксированный элемент группы . Рассмотрим совокупность элементов этой группы, представляемых произведением

где через мы обозначили переменный элемент подгруппы т. е., иначе говоря, На пробегает все элементы подгруппы Н. Нетрудно видеть, что произведения (40) образуют также подгруппу. Действительно, если взять, например, произведение двух элементов, принадлежащих совокупности (40), то оно также будет принадлежать этой совокупности:

и аналогично выполняются остальные условия для образования группы.

Подгруппа (40) называется подобной подгруппе и если принадлежит подгруппе то подгруппа (40) также состоит из элементов, принадлежащих и, как нетрудно видеть, просто совпадает с Н

Всякий элемент подгруппы Н может быть получен в этом случае по формуле (40), если мы возьмем

Если элемент не принадлежит подгруппе то подгруппа (40) может быть и отличной от подгруппы Н.

Подгруппа Н называется нормальным делителем полной группы если при любом выборе элемента из полной группы Q подгруппа (40) совпадает с подгруппой Н Мы дальше приведем примеры нормальных делителей группы, а сейчас перейдем к выяснению некоторых новых понятий, связанных с понятием нормального делителя.

Положим, что подгруппа Н есть нормальный делитель полной группы О. Для простоты письма будем считать, что эта подгруппа имеет конечный индекс т. В этом случае все элементы группы О могут быть представлены по схеме

где , как всегда, — переменный элемент подгруппы Н.

Раз Н есть нормальный делитель, то совокупность элементов совпадает с совокупностью элементов т. е. совокупность элементов совпадает с совокупностью элементов

Таким образом, если Н есть нормальный делитель то разбиение элементов полной группы на сопряженные совокупности по схеме (41) совпадает с разбиением элементов на сопряженные совокупности по схеме

Иначе говоря, в этом случае сопряженные совокупности справа совпадают с сопряженными совокупностями слева.

Если есть некоторый элемент нормального делителя, то при любом из G элемент также принадлежит нормальному делителю, т. е. если некоторый элемент принадлежит нормальному делителю, то и весь класс, в который этот элемент входит в основной группе, также принадлежит нормальному делителю. Нетрудно показать и наоборот, что если некоторая подгруппа обладает тем свойством, что, содержа некоторый элемент, она содержит и весь класс, к которому этот элемент принадлежит в основной группе, то такая подгруппа есть нормальный делитель.

Обратимся теперь к рассмотрению сопряженных совокупностей схеме (41) или (42), где элементы На образуют нормальный делитель Н. Рассмотрим произведения элементов некоторой сопряженной совокупности на элементы сопряженной совокупности

Мы можем совокупность этих произведений написать в виде:

Элементы содержатся в нормальном делителе , и то же самое можно сказать и об их произведении. Таким образом, предыдущие произведения мы можем написать в виде:

Все элементы этого вида заключаются в одной и той же сопряженной совокупности (41), а именно в той сопряженной совокупности, к которой принадлежит элемент . Нетрудно также показать, что мы получим таким образом все элементы этой сопряженной совокупности. Короче говоря, если подгруппа есть нормальный делитель, то перемножение одной сопряженной совокупности на другую дает также некоторую сопряженную совокупность. Будем рассматривать каждую из сопряженных совокупностей как некий новый элемент, причем первую из сопряженных совокупностей в схеме (41), (38) будем считать единичным элементом.

Предыдущий результат об умножении сопряженных совокупностей даст нам правила умножения этих новых, введенных нами элементов, причем, как нетрудно проверить, что мы предоставляем сделать читателю, это правило умножения удовлетворяет всем условиям, которые требуются для образования группы, т. е. введенные нами новые элементы при указанном правиле перемножения сами образуют группу, в которой первая из сопряженных совокупностей схемы играет роль единичного элемента. Эта новая группа, порядок которой равен индексу нормального делителя , называется дополнительной к Н группой или фактор-группой относительно Н.

Всякая группа О имеет два тривиальных делителя: один состоит из одного единичного элемента и другой совпадает со всей группой.

В дальнейшем, говоря о нормальном делителе, мы будем считать, что он отличен от упомянутых двух тривиальных нормальных делителей. Может случиться, что группа не имеет ни одного нормального делителя.

Такая группа называется простой.