Главная > Курс высшей математике, Т.3. Ч.1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

89. Интегрирование на группе.

В [76, 77] мы доказывали ряд соотношений, которые содержат суммы некоторых величин, зависящих от элементов группы, причем суммирование распространялось на все элементы группы. В случае непрерывной группы суммирование заменяется интегрированием по параметрам, определяющим элементы группы. Положим, что непрерывная группа G такова, что при некотором выборе параметров, этой группе в вещественном -мерном пространстве определяемой параметрами соответствует ограниченная замкнутая область V (область вместе с ее границей), так что всякому элементу из G соответствует определенная точка V и наоборот. Внутри области V функции определяющие групповую операцию, считаются непрерывными и достаточное число раз дифференцируемыми. Кроме того, эти функции и их производные считаются непрерывными вплоть до границы V. Зависимость параметров соответствующих элементу от параметров также считается непрерывной. Группы с такими свойствами называются обычно компактными. Для определения интегрирования на группе рассмотрим определитель матрицы и введем для него следующее обозначение:

Из (243) непосредственно следует:

Обозначая , можем написать:

Отсюда, принимая во внимание, что , получаем:

Введем еще одно «обозначение:

В силу сделанных выше предположений и есть непрерывная функция в замкнутой области V. Она не обращается в нуль, ибо

есть также непрерывная функция. Принимая во внимание, что и можем утверждать, что и положительные функции. То же можно утверждать, в силу (248), и относительно .

Пусть любая непрерывная в замкнутой области функция.

Определим интеграл от этой функции на группе G формулой:

где интеграл, стоящий справа, есть обычный интеграл по области V. Докажем, что такой интеграл обладает следующим свойством левой инвариантности:

или в координатах

где любой фиксированный элемент группы G. Для доказательства заменим в интеграле, стоящем в левой части, переменный элемент переменным элементом полагая причем область изменения параметров по-прежнему V. Определитель преобразования будет

и мы получим:

Это и совпадает с (253). Замена в правой части на несущественна.

Аналогично строится правоинвариантный интеграл. Введем определитель матрицы :

Как и выше, имеем:

где . Вводится положительная функция

и интеграл определяется формулой:

Волна сверху знака дифференциала отличает этот интеграл от интеграла (251). При этом имеет место свойство правой инвариантности:

Докажем теперь, что замена на под знаком подынтегральной функции влечет преобразование левоинвариантного интеграла в правоинвариантный и обратно. Дифференцируем равенство записанное в параметрах, по причем во всех дальнейших формулах мы считаем

и, принимая во внимание (246) и (245), получаем:

Можно дать другое представление этого определителя. Из равенства

следует

или, меняя местами

Обращаемся теперь к интегралам. Совершая обычным образом замену переменных интегрирования, получим, пользуясь (260):

Сокращая на и и заменяя переменный элемент переменным элементом получим:

Совершенно так же, принимая во внимание формулу (261), получим:

До сих пор мы не использовали компактности группы. Область V может быть и бесконечной. Но при этом надо предполагать функцию такой, что все написанные интегралы имеют смысл. Сейчас, пользуясь компактностью, мы докажем, что и . Для этого рассмотрим определитель

где докажем формулу

Мы можем написать:

где , а потому

откуда и следует (265). Положив в этой формуле получим

Если мы введем численную функцию элемента:

то, в силу (266), можем написать:

т. е. перемножение элементов означает умножение соответствующих значений функции Мы имеем, очевидно:

и функция непрерывна и положительна в замкнутой области V.

Используя компактность группы, докажем сейчас, что для любого элемента . Положим, что для некоторого элемента мы имеем . Если, например, то в силу и мы можем считать всегда, что При этом

Это противоречит тому, что непрерывная в замкнутой области V функция должна быть ограниченной. Переходим теперь к установлению связи между и Пусть

Мы имеем:

Но, с другой стороны:

т. е.

Полагая , получим:

т. е.

при любом ибо . Таким образом для компактных групп левоинвариантный интеграл (251) совпадает с правоинвариантным интегралом (257). Кроме того, из (262) или (263) следует, что этот интеграл совпадает также с интегралом

Для некомпактных групп левоинвариантный интеграл может быть отличным от правоинвариантного. В качестве примера рассмотрим группу линейных преобразований вида:

где меняются от до . В данном случае и V есть вся плоскость. Композиция двух преобразований дает:

т. е.

Единичному элементу соответствуют параметры Элемент имеет параметры . Вычисляем функциональные определители:

Левоинвариантный интеграл имеет вид:

и правоинвариантный интеграл:

Отметим, что при доказательстве равенства правоинвариантного и левоинвариантного интегралов, т. е. равенства и можно требование компактности группы заменить другим требованием.

Пусть - подгруппа, состоящая из элементов G, которые имеют вид:

или получаются из таких элементов путем их перемножения, причем и — любые элементы

Нетрудно видеть, что если некоторый элемент содержится среди элементов (270), то и обратный элемент содержится среди элементов (270).

Точно так же и элемент , при любом выборе из , содержится среди элементов (270). Иначе говорят, что подгруппа порождается элементами (270). Из сказанного выше следует, что G является нормальным делителем G. Подгруппа G приводится к единичному элементу в том и только в том случае, если все элементы (270) суть единичные элементы, т. е. в том и только в том случае, когда G есть абелева группа. Подгруппа G может и совпадать с G. В частности, это будет иметь место, если G есть не абелева, простая группа. Подгруппа G называется обычно коммутантом группы G.

Из определения (268) и (269) следует, что что для всех из и что имеет одинаковое значение для всех элементов, принадлежащих одной и той же совокупности по группе т. е. что функция имеет определенное значение для всякого элемента дополнительной к G группы. Если G совпадает с , то при любом из G. То же имеет место, если упомянутая выше дополнительная группа компактна. Но раз

1
Оглавление
email@scask.ru