89. Интегрирование на группе.

В [76, 77] мы доказывали ряд соотношений, которые содержат суммы некоторых величин, зависящих от элементов группы, причем суммирование распространялось на все элементы группы. В случае непрерывной группы суммирование заменяется интегрированием по параметрам, определяющим элементы группы. Положим, что непрерывная группа G такова, что при некотором выборе параметров, этой группе в вещественном -мерном пространстве определяемой параметрами соответствует ограниченная замкнутая область V (область вместе с ее границей), так что всякому элементу из G соответствует определенная точка V и наоборот. Внутри области V функции определяющие групповую операцию, считаются непрерывными и достаточное число раз дифференцируемыми. Кроме того, эти функции и их производные считаются непрерывными вплоть до границы V. Зависимость параметров соответствующих элементу от параметров также считается непрерывной. Группы с такими свойствами называются обычно компактными. Для определения интегрирования на группе рассмотрим определитель матрицы и введем для него следующее обозначение:

Из (243) непосредственно следует:

Обозначая , можем написать:

Отсюда, принимая во внимание, что , получаем:

Введем еще одно «обозначение:

В силу сделанных выше предположений и есть непрерывная функция в замкнутой области V. Она не обращается в нуль, ибо

есть также непрерывная функция. Принимая во внимание, что и можем утверждать, что и положительные функции. То же можно утверждать, в силу (248), и относительно .

Пусть любая непрерывная в замкнутой области функция.

Определим интеграл от этой функции на группе G формулой:

где интеграл, стоящий справа, есть обычный интеграл по области V. Докажем, что такой интеграл обладает следующим свойством левой инвариантности:

или в координатах

где любой фиксированный элемент группы G. Для доказательства заменим в интеграле, стоящем в левой части, переменный элемент переменным элементом полагая причем область изменения параметров по-прежнему V. Определитель преобразования будет

и мы получим:

Это и совпадает с (253). Замена в правой части на несущественна.

Аналогично строится правоинвариантный интеграл. Введем определитель матрицы :

Как и выше, имеем:

где . Вводится положительная функция

и интеграл определяется формулой:

Волна сверху знака дифференциала отличает этот интеграл от интеграла (251). При этом имеет место свойство правой инвариантности:

Докажем теперь, что замена на под знаком подынтегральной функции влечет преобразование левоинвариантного интеграла в правоинвариантный и обратно. Дифференцируем равенство записанное в параметрах, по причем во всех дальнейших формулах мы считаем

и, принимая во внимание (246) и (245), получаем:

Можно дать другое представление этого определителя. Из равенства

следует

или, меняя местами

Обращаемся теперь к интегралам. Совершая обычным образом замену переменных интегрирования, получим, пользуясь (260):

Сокращая на и и заменяя переменный элемент переменным элементом получим:

Совершенно так же, принимая во внимание формулу (261), получим:

До сих пор мы не использовали компактности группы. Область V может быть и бесконечной. Но при этом надо предполагать функцию такой, что все написанные интегралы имеют смысл. Сейчас, пользуясь компактностью, мы докажем, что и . Для этого рассмотрим определитель

где докажем формулу

Мы можем написать:

где , а потому

откуда и следует (265). Положив в этой формуле получим

Если мы введем численную функцию элемента:

то, в силу (266), можем написать:

т. е. перемножение элементов означает умножение соответствующих значений функции Мы имеем, очевидно:

и функция непрерывна и положительна в замкнутой области V.

Используя компактность группы, докажем сейчас, что для любого элемента . Положим, что для некоторого элемента мы имеем . Если, например, то в силу и мы можем считать всегда, что При этом

Это противоречит тому, что непрерывная в замкнутой области V функция должна быть ограниченной. Переходим теперь к установлению связи между и Пусть

Мы имеем:

Но, с другой стороны:

т. е.

Полагая , получим:

т. е.

при любом ибо . Таким образом для компактных групп левоинвариантный интеграл (251) совпадает с правоинвариантным интегралом (257). Кроме того, из (262) или (263) следует, что этот интеграл совпадает также с интегралом

Для некомпактных групп левоинвариантный интеграл может быть отличным от правоинвариантного. В качестве примера рассмотрим группу линейных преобразований вида:

где меняются от до . В данном случае и V есть вся плоскость. Композиция двух преобразований дает:

т. е.

Единичному элементу соответствуют параметры Элемент имеет параметры . Вычисляем функциональные определители:

Левоинвариантный интеграл имеет вид:

и правоинвариантный интеграл:

Отметим, что при доказательстве равенства правоинвариантного и левоинвариантного интегралов, т. е. равенства и можно требование компактности группы заменить другим требованием.

Пусть - подгруппа, состоящая из элементов G, которые имеют вид:

или получаются из таких элементов путем их перемножения, причем и — любые элементы

Нетрудно видеть, что если некоторый элемент содержится среди элементов (270), то и обратный элемент содержится среди элементов (270).

Точно так же и элемент , при любом выборе из , содержится среди элементов (270). Иначе говорят, что подгруппа порождается элементами (270). Из сказанного выше следует, что G является нормальным делителем G. Подгруппа G приводится к единичному элементу в том и только в том случае, если все элементы (270) суть единичные элементы, т. е. в том и только в том случае, когда G есть абелева группа. Подгруппа G может и совпадать с G. В частности, это будет иметь место, если G есть не абелева, простая группа. Подгруппа G называется обычно коммутантом группы G.

Из определения (268) и (269) следует, что что для всех из и что имеет одинаковое значение для всех элементов, принадлежащих одной и той же совокупности по группе т. е. что функция имеет определенное значение для всякого элемента дополнительной к G группы. Если G совпадает с , то при любом из G. То же имеет место, если упомянутая выше дополнительная группа компактна. Но раз