§ 2 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
8. Теорема Крамера.
Установив понятие об определителе и выяснив его основные свойства, мы переходим теперь к применению этого понятия к решению систем уравнений первой степени. Рассмотрим сначала основной случай, когда число уравнений совпадает с числом неизвестных. Мы можем записать такую систему, содержащую 
уравнений и 
неизвестных, в виде:
причем обозначения коэффициентов такие же, какие мы ввели в [1] для случая трех уравнений с тремя неизвестными.
Сделаем одно предположение, а именно будем считать, что определитель системы, т. е. определитель, соответствующий таблице коэффициентов 
системы, отличен от нуля
Умножим обе части уравнений системы (1) на алгебраические дополнения элементов k-го столбца этого определителя, т. е. обе части первого уравнения системы умножим на 
второго на 
и т. д. Полученные таким образом уравнения сложим. В результате мы придем к уравнению, в правой части которого стоит сумма
а в левой части коэффициент при неизвестном 
выражается суммой
Эта последняя сумма равна нулю при 
и определителю А при 
т. е. мы приходим к уравнению вида:
Проделав это для каждого значка k, мы, как следствие уравнений (1), получим систему новых уравнений
Нетрудно показать, что и, наоборот, из системы (3), как следствие, получается система (1). Действительно, умножим обе части уравнения (3) на 
и просуммируем затем по всем k от 1 до 
. Пользуясь опять свойством V определителя, мы придем, как нетрудно видеть, к уравнению
что, после сокращения на множитель А, отличный от нуля, даст нам уравнение с номером l системы (1), причем мы можем это проделать для любого 
Итак, системы (1) и (3) равносильны, и мы можем вместо системы (1) решать систему (3). Последняя система решается непосредственно и дает одно и только одно решение, вычисляемое по формулам
Заметим, что в силу сказанного в [3] числитель написанного выражения представляет собою определитель, который получается из определителя А заменой элементов 
столбца, т. е. коэффициентов 
при 
свободными членами 
Мы имеем таким образом следующую теорему;
Теорема Крамера. Если определитель А системы (1) отличен от нуля, то эта система имеет одно определенное решение, выражаемое формулами (5). Согласно этим формулам каждое из неизвестных выражается частным двух определителей, причем в знаменателе стоит определитель системы, а в числителе — определитель, который из него получается заменой коэффициентов при определяемом неизвестном соответствующими свободными членами.
При большом числе уравнений пользование теоремой Крамера неудобно, и существуют другие, приближенные, практические способы решения систем многих уравнений со многими неизвестными, на чем мы останавливаться не будем.
