59. Примеры.

1. Рассмотрим группу G вещественных ортогональных преобразований в трехмерном пространстве. Пусть Н — подгруппа движения, т. е. совокупность ортогональных преобразований с определителем Пусть, далее, S есть симметрия относительно начала, определяемая формулой (37). Если На есть переменный элемент из то полная группа может быть представлена по схеме:

Если есть любое преобразование из G, то имеет определитель т. е. принадлежит есть нормальный делитель индекса два. Рассмотрим группу, дополнительную к . Первой из совокупностей (43) соответствует единичный элемент Е этой группы. Произведение двух элементов из второй совокупности, т. е. двух ортогональных преобразований с определителем дает ортогональное преобразование с определителем которое принадлежит первой совокупности. Если К — элемент, соответствующий второй совокупности, то из сказанного следует, что Итак, дополнительная к группа состоит из двух элементов Е и т. е. это есть циклическая группа порядка два. Это будет вообще иметь место при нормальных делителях индекса два.

2, Для симметрической группы перестановок знакопеременная группа будет нормальным делителем индекса два.

Выпишем элементы симметрической группы с тремя элементами и обозначим каждый из них одной буквой, пользуясь обозначениями из [55]:

Знакопеременная группа, состоящая из перестановок Е, D и F, будет циклической группой третьего порядка причем Вся симметрическая группа состоит из трех классов:

Знакопеременная группа также состоит из трех классов: . Нетрудно проверить, что закон умножения для элементов рассматриваемой симметрической группы совпадает с тем законом, который определяется таблицей (34) из [56].

Знакопеременная группа при содержит 12 элементов, которые распределяются на четыре класса:

Второй класс содержит три элемента второго порядка, а третий и четвертый классы — по четыре элемента третьего порядка. Произведение двух элементов второго класса дает, как нетрудно проверить, опять элемент второго класса, и, поскольку все элементы второго порядка попали во второй класс, можно утверждать, что эти три элемента совместно с единичным элементом образуют нормальный делитель рассматриваемой знакопеременной группы. Порядок его равен четырем, а индекс трем. Легко проверить, что элементы третьего класса попадут в одну из сопряженных совокупностей элементов по указанному нормальному делителю, а элементы в другую сопряженную совокупность. Далее нетрудно проверить, что произведение двух элементов третьего класса дает некоторый элемент четвертого класса, а произведение двух элементов четвертого класса дает элемент третьего класса. В дополнительной группе указанному нормальному делителю соответствует единичный элемент Е. Пусть А и В — два других элемента дополнительной группы. Из сказанного выше непосредственно следует, что непосредственно очевидно, что дополнительная группа, состоящая из элементов Е, А и причем есть циклическая группа третьего порядка.

Отметим, что элементы и (2, 1, 3) нашей основной знакопеременной группы образуют циклическую подгруппу третьего порядка, но эта подгруппа не является элементарным делителем.

Если мы пронумеруем вершины тетраэдра в каком-либо порядке, то легко непосредственно проверить, что указанная выше знакопеременная - группа при соответствует тем вращениям, при которых тетраэдр переходит в себя. Всякая перестановка определяет переход одних вершин в другие. Перестановкам третьего класса соответствует вращение вокруг одной из осей тетраэдра на угол — а перестановкам четвертого класса — вращения в противоположном направлении вокруг тех же осей и на тот же угол. Так, например, перестановкам (1, 2, 3) и (2, 1,3) соответствуют вращения вокруг оси, проходящей через вершину с номером 4. Перестановкам второго класса соответствуют такие вращения тетраэдра, при которых ни одна из вершин не остается неизменной.

Можно доказать, что знакопеременная группа при 4 является простой.

3. Если имеется абелева группа G и ее какая-либо подгруппа , то при любом выборе элементов из и из G мы имеем откуда непосредственно видно, что есть нормальный делитель, т. е. всякая подгруппа абелевой группы есть ее нормальный делитель. В качестве примера рассмотрим i руппу G сложения векторов в о которой мы говорили в [49].

В качестве подгруппы И возьмем векторы, принадлежащие некоторому подпространству из . Сопряженные совокупности получаются путем добавления к какому-либо вектору из всех векторов подпространства

Если принадлежит то сопряженная совокупность совпадает с подгруппой Н. Введем некоторые орты и орты в дополнительном подпространстве Всякая сопряженная совокупность элементов будет состоять, в силу сказанного выше, из векторов:

причем имеют фиксированные значения, могут принимать любые значения.

Таким образом, всякой сопряженной совокупности мы можем сопоставить определенный вектор из и, наоборот, всякому вектору из соответствует определенная сопряженная совокупность. Сложению двух векторов из каких-либо двух сопряженных совокупностей соответствует сложение соответствующих этим совокупностям векторов из Иначе говоря, элементами дополнительной группы можно считать векторы из при прежней групповой операции (сложение векторов).

В этом примере порядок нормального делителя И и его индекс равны бесконечности.