21. Общие линейные преобразования вещественного трехмерного пространства.

Будем рассматривать теперь линейные вещественные преобразования вида (2) с любыми коэффициентами, но будем всегда считать, что определитель преобразования отличен от нуля:

В этом случае преобразование обычно называется собственным преобразованием. Если оно не удовлетворяет условиям (5), то оно связано с деформацией пространства Заметим, что в преобразовании (2) характерным является таблица его коэффициентов, из которой вполне определяется закон перехода от любого вектора с составляющими к новому вектору с составляющими Обозначим всю таблицу коэффициентов одной буквой

причем мы ставим эту таблицу, как и раньше, между двойными чертами, чтобы отличить ее от определителя. Она называется иначе матрицей. Определитель таблицы (8) будем обозначать символом Это есть некоторое определенное число. Преобразование (2) мы запишем символически в следующем виде:

где вектор с составляющими вектор с составляющими

Преобразование, при котором каждый вектор остается неизменным, назовем тождественным преобразованием. Ему соответствует таблица

которая называется обычно единичной таблицей, или единичной матрицей, и обозначается символом

Считая можем решить уравнения (2) относительно и получим формулы:

где алгебраические дополнения элементов в определителе . Это линейное преобразование называется обычно преобразованием, обратным (2), и, если матрица этого последнего обозначена через А, то матрицу преобразования (11) обозначают через Введем теперь важное для дальнейшего понятие о произведении двух преобразований или произведении двух матриц. Положим, что мы имеем два линейных преобразования, от

и затем от

Этот последовательный переход от и затем от можно заменить непосредственным переходом от который также будет линейным преобразованием

Это последнее линейное преобразование называется произведением преобразований (12) и (13), причем здесь существенно отметить порядок, в котором производились преобразования. Подставляя выражения (12) в правые части формулы (13), мы и получим формулы (14). Отсюда непосредственно получается выражение элементов таблицы произведения преобразований через элементы таблиц перемножаемых преобразований:

Преобразование (14) обычно записывается следующим образом:

Матрицу С с элементами получаемыми по формулам (15), называют произведением матриц А и В и записывают это в следующем виде:

причем в смысле порядка следования преобразований надо читать это произведение справа налево. Принимая во внимание теорему об умножении определителей и формулы (15), мы можем написать для определителей преобразований очевидное равенство:

т. е. определитель произведения преобразований равен произведению определителей этих преобразований. Нетрудно доказать следующие соотношения, имеющие простой геометрический смысл:

Заметим, кроме того, что из самого процесса образования обратного преобразования следует, что преобразование, обратное будет преобразование А. Действительно, решая систему (11) относительно получим, очевидно, опять формулы (2). Это можно записать следующим образом:

Понятие произведения преобразований может быть распространено на случай любого числа сомножителей, а именно: результат последовательного преобразования с некоторыми матрицами А, В и С будет новое преобразование с матрицей

Если матрицы А, В и С имеют элементы то матрица являющаяся их произведением, будет иметь элементы, определяемые по формулам:

Действительно, для элементов матрицы имеем формулы

и, наконец, для матрицы СЕ будем иметь, согласно (15), формулы

т. е. как раз формулы (22). Заметим, что в дальнейшем мы будем часто обозначать элементы матрицы А символом

Произведение матриц не подчиняется, вообще говоря, перемвг стителъному закону, т. е. вообще , но, как нетрудно видеть, подчиняется сочетательному закону — сомножители можно соединять в группы:

В левой его части мы должны матрицу А умножить на В слева и затем полученный результат умножить на матрицу С. В правой части мы сначала должны умножить матрицу В на С, а затем матрйцу А помножить на матрицу, полученную в результате только что произведенного умножения. Нетрудно видеть, что в обоих случаях элементы матрицы, получающиеся в окончательном произведении, будут выражаться по формулам (22). Действительно, для левой части это было показано выше. Что же касается правой части, то мы имеем, производя последовательно указанные умножения:

и

что совпадает, очевидно, с (22) при наших новых обозначениях.

Отметим еще один важный тип линейных преобразований, а именно рассмотрим преобразования

которые сводятся к растяжению вдоль координатных осей, причем численные коэффициенты характеризуют величину этого растяжения (или сжатия). Матрица указанного преобразования имеет, очевидно, вид:

т. е. все ее элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.

Такая матрица называется диагональной матрицей, и мы ее будем обозначать символом

В частности, если числа одинаковы, т. е. если то преобразование сведется к умножению всех составляющих вектора на одно и то же число к, и это будет, очевидно, преобразование подобия с центром в начале координат. Всякий вектор, не меняя своего направления (считаем ), изменится лишь по длине, причем его длина умножится на k. Такое преобразование будем обозначать

т. е. будем число k считать частным случаем матрицы, а именно будем диагональную матрицу с одинаковыми элементами на главной диагонали

считать числом к. Нетрудно видеть, пользуясь (15), что произведение таких матриц сводится к обычному перемножению чисел, т. е.

Вообще легко проверить, что для диагональных матриц имеет место простой закон умножения

т. е. два растяжения вдоль координатных осей равносильны одному растяжению с коэффициентами, равными произведению соответствующих коэффициентов составляющих растяжений. Из формулы (26), между прочим, непосредственно следует, что произведение двух диагональных матриц не меняется при перестановке сомножителей. Пользуясь представлением числа в виде диагональной матрицы (25) и формулой (15), нетрудно видеть, что произведение к А сводится к умножению всех элементов матрицы А на число к. Это произведение не зависит от порядка сомножителей, т. е.

Мы рассматривали основное линейное преобразование (2) как деформацию пространства, при которой вектор с составляющими переходит в новый вектор с составляющими Можно, конечно, как мы уже указывали и раньше толковать это преобразование и как точечное преобразование, при котором точка с координатами переходит в точку с координатами

При определении составляющих вектора мы могли пользоваться любой системой осей, иначе говоря, любыми ортами, т. е. мы могли взять любые три некомпланарных вектора за основные векторы (за оргы), и при этом для всякого вектора мы, как известно, имеем единственное представление вида [II, 114]:

Числа и называются составляющими вектора езятой системе координат, определяемой ортами и k. Нашей задачей сейчас является исследовать влияние различного выбора ортов на вид линейного преобразования.

Точнее говоря, если в системе координат, определяемой ортами i, j и , некоторое линейное преобразование имеет вид (12), та каким образом будет выглядеть то же самое линейное преобразование пространства в другой системе координат, определяемой ортами Положим, что новые орты выражаются через старые по формулам:

Заметим, что определитель, составленный из коэффициентов должен быть отличным от нуля. В противном случае векторы оказались бы линейно зависимыми, т. е. компланарными. В новой системе координат наш вектор, определяемый формулой (28), будет иметь уже новые составляющие

Установим прежде всего формулу, выражающую новые составляющие вектора через его прежние составляющие. Мы имеем, очевидно, используя выражения (29) новых ортов:

Сравнивая коэффициенты при получим формулы, выражающие прежние составляющие через новые:

Таблица этого преобразования отличается от таблицы преобразования (29) тем, что строки заменены столбцами. Действительно, в каждой строке таблицы (29) не меняется первый значок, а в таблице (30) это имеет место для второго значка. Обозначая таблицу преобразования (29) через , мы будем таблицу преобразования (30) обозначать через Т и называть ее транспонированной по отношению к При этом можно записать формулы (30) коротко в следующей форме:

причем обозначает три составляющие вектора в прежних ортах, в новых ортах. Выражение новых составляющих через старые будет иметь вид:

где есть линейное преобразование, обратное Оно называется обычно контраградиентным по отношению к Для краткости письма обозначим соответствующую ему таблицу особой буквой

Мы можем, таким образом, утверждать, что при перемене основных ортов, согласно формуле (29), составляющие всякого вектора испытывают линейное преобразование с таблицей U, определяемой по формуле (32). Таким образом, наши два вектора входящие в преобразование (9), после преобразования ортов будут иметь уже другие составляющие, определяемые через прежние по формулам:

Нашей задачей, таким образом, является установить линейную зависимость между составляющими Мы можем совершить переход от вектора к новому вектору следующим образом: сначала перейти от вектора к вектору что в силу (33) совершается при помощи таблицы Затем перейти от вектора к вектору при помощи таблицы А преобразования (9) и, наконец, от вектора к вектору при помощи таблицы преобразования U. Окончательно мы будем иметь линейное преобразование следующего вида:

Это преобразование называется подобным преобразованию (9), и его матрица называется подобной матрице А.

Формулируем окончательно полученный результат.

Если формулы (33) выражают линейное преобразование составляющих вектора, вызываемое переменой основных ортов, то всякое линейное преобразование пространства, которое в прежних основных ортах имело вид:

будет иметь в новой координатной системе вид: