Главная > Курс высшей математике, Т.3. Ч.1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

38. Малые колебания.

Мы видели выше что движение механической системы, имеющей степеней свободы, связи которой не содержат времени и которая находится под воздействием сил, имеющих потенциал, определяется системой дифференциальных уравнений вида:

где Т — кинетическая энергия системы и U — заданная функция (силовая функция) от которую мы считаем не зависящей от t. Как мы упоминали выше, Т есть квадратичная форма от производных от по времени

причем коэффициенты суть заданные функции от Положим, что значения обращают в нуль частные производные

При этом система дифференциальных уравнений (164) имеет очевидное решение которому соответствует некоторое положение равновесия системы. Функция U определена лишь с точностью до постоянного слагаемого, и мы можем всегда считать, что она обращается в нуль при . В силу условия (166) можно, таким образом, утверждать, что разложение функции U по степеням начинается лишь с членов второго измерения. Положим, что квадратичная форма, получаемая от этих членов второго измерения, будет определенно отрицательной, откуда следует, что U имеет максим ум при или — что то же — потенциальная энергия имеет минимум. Как мы доказали [II, 20] при этом положение равновесия будет устойчивым, и при малых начальных возмущениях система будет совершать малые колебания около упомянутого положения равновесия, так что во все время движения будут оставаться малыми. Мы можем поэтому при исследовании этих малых колебаний считать, что U сводится лишь к членам второго измерения, т. е. имеет вид:

Точно так же мы можем в коэффициентах выражения (165) положить приближенно после чего эти коэффициенты окажутся заданными числами. Подставляя все это в систему (164), будем иметь систему линейных уравнений с постоянными коэффициентами:

Если мы будем искать решение этой системы в форме гармонических колебаний одной и той же частоты и начальной фазы, но с разными амплитудами

то» подставляя в систему (168), будем иметь систему уравнений для и :

Для того чтобы эта система имела для решение, отличное от нулевого, мы должны приравнять ее определитель нулю:

Взяв некоторый корень этого уравнения и подставив в коэффициенты системы (170), мы получим для решения — одно или несколько, которые мы затем можем умножить на произвольную постоянную. Кроме того, формула (169) содержит еще произвольную постоянную

Мы получаем более отчетливое решение задачи, применяя теорию квадратичных форм. Заметим прежде всего, что по самому существу дела квадратичная форма (165) переменных выражающая кинетическую энергию при движении, будет определенно положительной формой. Кроме того, в данном случае по условию задачи и форма (167) будет определенно положительной. Как мы видели, можно ввести вместо переменных такие новые переменные связанные с прежним линейным преобразованием с постоянными коэффициентами, чтобы в новых переменных квадратичные формы Т и одновременно привелись к сумме квадратов, причем для формы Т это должно быть чистой суммой квадратов с коэффициентами, равными единице. Заметим при этом, что линейная зависимость для приводит к такой же зависимости для Мы будем, таким образом, иметь:

где все коэффициенты при положительны, так что мы имели возможность обозначить их через квадраты. Вместо системы (168) мы можем написать уравнения Лагранжа (164) для новых переменных

Подставляя (172), будем иметь чрезвычайно простую систему

Решения этой системы будут:

где произвольные постоянные.

Обобщенные координаты называются главными координатами нашей механической системы.

Основные координаты выражаются через них линейным образом с постоянными коэффициентами. Из результатов предыдущего номера непосредственно следует, что числа должны быть корнями уравнения (170). Заметим, что среди них могут оказаться и одинаковые, но и в этом случае формулы (169) дают общее решение задачи малых колебаний в рассматриваемом случае.

1
Оглавление
email@scask.ru